第二节
支出最小化

上一节我们讨论了消费者效用最大化问题，接下来我们讨论效用最大化问题的等价问题——支出最小化。有了前面的分析，支出最小化问题就比较容易了。

一、支出最小化（EMP）的一阶条件和二阶条件

（一）一阶条件

支出最小化问题是消费者达到给定的效用水平，如何使花费最小。其数学表达式为

这里的 u 是一个给定的效用值。

求解支出最小化的基本方法也是运用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数

支出最小化的一阶条件为

式（14）重复了约束条件，因此这里重点分析式（12）和式（13）。我们看到式（12）、式（13）和式（1）、式（2）非常相似。实际上，如果 λ =1 /θ ，那么它们彼此就完全对应了。对式（12）和式（13）进行变形并联立可得

除了 λ 换成了1 /θ 以外，式（15）基本上和式（4）相同。这说明只有满足了等边际原则，消费者才能实现支出最小化。

对式（15）再进行变形，也可以得到

式（16）和式（5）完全一样。这也说明，消费者要实现支出最小化就必须满足边际替代率等于商品价格之比。换句话说，无差异曲线必须要和等支出线相切于支出最小化的点。请参见图3-3，其中 B 点是实现支出最小化的点，而其他点（比如 A 点、 C 点）则不是，因为这些点不满足一阶条件。

（二）二阶条件

同样，一阶条件只是必要条件，要实现支出最小化也必须考虑二阶条件。支出最小化的二阶条件和效用最大化的二阶条件完全一样，即要求偏好是凸性的，无差异曲线是凸向原点的，或者效用函数是拟凹函数，那么满足一阶条件的解就是支出最小化的最优解。

二、希克斯需求函数和支出函数

当消费者实现支出最小化时，其所消费的商品数量为（ ， ），如图3-3所示。这个数量也可以通过一阶条件的三个等式，即式（12）、式（13）和式（14）求解出来。这时商品的最优需求量就取决于商品的价格和消费者要达到的效用水平，即商品的需求量是价格和效用水平的函数，我们记为

我们不用 = x ₁ （ p ₁ ， p ₂ ， u ）， = x ₂ （ p ₁ ， p ₂ ， u ）是为了和马歇尔需求函数相区别。支出最小化时的最优需求量是价格 p ₁ ， p ₂ 和效用 u 的函数。经济学把这种函数 h ₁ （ p ₁ ， p ₂ ， u ）， h ₂ （ p ₁ ， p ₂ ， u ）称为希克斯需求函数。这里我们强调马歇尔需求函数和希克斯需求函数的区别：马歇尔需求函数是效用最大化时最优的商品需求量，取决于商品价格和消费者的收入水平；希克斯需求函数是支出最小化时最优的商品需求量，取决于商品价格和消费者要达到的效用水平。

把希克斯需求函数代入目标函数，就可以求出消费者达到既定效用水平的最小的支出水平，有

可以看出，消费者最优的支出水平实际上是取决于商品的价格和效用水平的，我们把 e （ p ₁ ， p ₂ ， u ）称为支出函数。

希克斯需求函数和支出函数都有很多重要的性质，本书不做过多的介绍，但在这里我们需要掌握一个重要的引理——谢泼德引理。它把希克斯需求函数和支出函数联系了起来，非常有用。

谢泼德引理为 YqU2jYmjl11wx8WLbUtN0zi9v9UqGeSoYL/lZp9e/gmQapGauQBkiiL46zRvuW1z