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效用最大化问题就是消费者在预算约束下选择合意的消费束，以最大化效用函数。从数学的角度讲，就是求解下列等式约束下的最优化问题
求解效用最大化的基本方法就是运用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数
效用最大化的一阶条件为
效用最大化的一阶条件为三个等式，其中式（3）实际上就是预算约束线方程。它只是要求消费者购买的消费束必须满足预算约束。式（1）和式（2）是两个新的条件，有很强的经济含义。我们将式（1）和式（2）变形，等式两边同时除以各自的价格，
式（4）说明，消费者要实现效用最大化，必须要满足每种商品的边际效用与价格之比要相等，都等于 λ ，很显然 λ >0。在稍后的内容中，我们就会看到 λ 实际上是货币的边际效用。那么，消费者效用最大化的一阶条件告诉我们，消费者要实现效用最大化，其花在每种商品的每一元钱所带来的边际效用必须相等，并且等于货币的边际效用。式（4）因此也被称为等边际原则。
如果我们用式（1）去除以式（2），那么得到
式（5）告诉我们，要实现效用最大化，消费者的边际替代率必须等于商品价格之比。消费者的边际替代率是无差异曲线的斜率，商品价格之比为预算约束线的斜率。因此，式（5）实际上是说，在消费者实现效用最大化的点上，无差异曲线的斜率要等于预算约束线的斜率。也就是说，无差异曲线和预算约束线相切于效用最大化的消费束点，见图3-1。
图3-1 无差异曲线和预算约束线相切于效用最大化的消费束点
在图3-1中，无差异曲线
u
A
的效用水平最高，但是其线上的任何一点（比如
A
点）都不满足一阶条件中的式（3），因此其线上的任何一点都不是效用最大化问题的解。我们再看无差异曲线
u
C
上的点
C
，它满足式（3），但不满足式（5），或者说不满足式（1）和式（2）。从图形上看，无差异曲线和预算约束线并没有相切而是相交了，则点
C
也没有实现效用最大化。这是因为点
B
的效用水平是高于点
C
的，而且点
B
也是可行的。点
C
没有实现效用最大化，那会发生什么情况呢？在点
C
处，边际替代率没有等于商品价格之比，而是
。这时，消费者更愿意增加对
x
1
的消费，减少对
x
2
的消费。于是，消费束会沿着图3-1中箭头的方向运行，以提高消费者的效用水平，直到运行到
B
点。此时，消费者的
，消费者再没有在两种商品中进行交换的激励，即消费者已实现效用最大化，处于一种均衡状态。因此，消费者实现效用最大化的一阶条件在很多书上也称为消费者均衡条件。
消费者要实现效用最大化，就必须满足一阶条件，但这只是说一阶条件是实现效用最大化的必要条件，而不是充分条件。换句话说，满足了一阶条件的消费束未必实现了效用的最大化。这一点我们可以在图3-2 中清楚地看到。
图3-2 非凸偏好
图3-2中的点 D 和点 E 都满足一阶条件。它们所在的无差异曲线都和预算约束线相切，同时都满足预算约束，但很明显 E 点是效用最大化的点，而 D 点不是，因为 E 点优于 D 点。因此，效用最大化除了要检验一阶条件外，还要考察二阶条件。
消费者效用最大化的二阶条件实际上就是要求偏好必须是凸性的，或者说无差异曲线要凸向原点。从图3-2可以看出， E 点是效用最大化的点，实际上 E 点所在的那部分无差异曲线是凸向原点的； D 点不是效用最大化的点，其所在的无差异曲线实际上是凹向原点的。从图3-1可以看出，图中的无差异曲线就是凸向原点的，因此点 B 是效用最大化的点。
从数学上讲，二阶条件要求加边的海塞行列式大于零，即
从一阶条件的式（1）和式（2）中，我们有
，
i
=1，2，把它代入上式，有
即要求
因此，要求
根据第一章的讨论，式（6）实际上要求效用函数是一个拟凹函数。
二阶条件是充分条件，也就是说当偏好是凸性的，无差异曲线是凸向原点的，或者效用函数是拟凹函数，那么满足了一阶条件的解就是效用最大化的点。当然在本教材中大部分效用函数都满足二阶条件，因此很多时候只要求满足一阶条件就可以了。但是当我们对不太熟悉的效用函数求效用最大化的解时，就需要验证二阶条件了，否则很有可能得出错误的结论。
当消费者的选择满足了一阶条件和二阶条件时，其选择实现了效用最大化，这时消费者就会选择最优的消费束，如图3-1所示的
B
点所对应的消费束（
，
）。实际上最优消费束完全可以通过一阶条件的三个等式，即式（1）、式（2）、式（3）求解出来，这时求解的结果最终取决于价格
p
1
，
p
2
和收入
y
，即
这个结果实际上就是消费者的需求函数，取决于消费者的收入和商品的价格。经济学把这种需求函数称为马歇尔需求函数（有的学者也称其为斯勒茨基需求函数）。
马歇尔需求函数有一个很重要的性质，即需求函数是关于价格和收入的零次齐次函数，也即
其中， t >0。
马歇尔需求函数的零次齐次性的含义是指，当价格和收入同比例变化时，消费者的需求量保持不变。这个结果很直观，价格和收入同比例变化，对消费者来说实际上没有任何影响。从图形上我们也可以看出，此时的预算约束线不会移动，无差异曲线也没变，当然最优的消费束也不会变化。
例1： 设效用函数为
，求马歇尔需求函数。
解：构造拉格朗日函数
由式（7）除以式（8），可得
将式（10）代入式（9），可得
当然，我们还应该验证解的二阶条件，在这里我们不做验证，留给读者自己练习。实际上，这个解满足二阶条件，因此我们求得的解是实现了效用最大化的最优解。
如果我们把求得的马歇尔需求函数
，
代入效用函数，就可以求得最大的效用水平
，那么有
我们看到最大的效用水平
取决于
p
1
，
p
2
，
y
。换句话说，最大的效用水平
是
p
1
，
p
2
，
y
的函数，我们记为
v
（
p
1
，
p
2
，
y
），那么有
我们把 v （ p 1 ， p 2 ， y ）称为间接效用函数，是因为消费者的效用直接取决于所消费的消费束（ x 1 ， x 2 ），间接取决于商品的价格和消费者的收入水平。按照这样理解， u （ x 1 ， x 2 ）就被称为直接效用函数。
例2： 求效用函数为
的间接效用函数。
解：根据例1中得到的马歇尔需求函数，代入直接效用函数，得
间接效用函数把价格和收入与效用水平联系起来了，因此当考虑商品价格和消费者收入变化对消费者的效用水平的影响时，有了间接效用函数就非常方便了。进一步地，我们对间接效用函数应当有更深入的认识，以下是间接效用函数具有的一些性质。
性质1：间接效用函数对于价格和收入是零次齐次函数，即 v （ p 1 ， p 2 ， y ）= v （ tp 1 ， tp 2 ， ty ），其中 t >0。
证明：
第一个、第三个等号成立是源于间接效用函数的定义，第二个等号成立的原因是马歇尔需求函数的零次齐次性。
间接效用函数的零次齐次性告诉我们，当收入和价格同比例变化时，最大效用水平不变。这是因为收入和价格的同比例变化，不会影响消费者的最优选择，当然也就不会改变消费者最大的效用水平。
性质2：间接效用函数是收入的严格递增函数，即∂ v/ ∂ y >0。
证明：根据包络定理，有
从性质2得知，随着收入的增加，消费者最大化的效用水平一定会增加。这很直观，随着收入的增加，消费者可以购买到更多的各种商品，消费者得到的效用自然也会增加。
从性质2我们还得知， λ =∂ v/ ∂ y ，这说明每增加一元钱所带来的增加的效用正好等于 λ ，这也印证了前面所说的 λ 是货币的边际效用。
性质3：间接效用函数是单个价格 p i 的递减函数，即∂ v/ ∂ p i ≤0， i =1，2。
证明：根据包络定理，有
其中， i =1，2。
从性质3得知，随着商品价格的提高，消费者的效用水平不会提高，往往会下降，这和我们的常识是吻合的。
性质4：罗伊恒等式
。
证明：根据性质2和性质3 得到的表达式，两者相除就得到了罗伊恒等式。
罗伊恒等式告诉我们，如果知道了间接效用函数，只需要进行简单的求导运算就可以很快地得到马歇尔需求函数。