第三节
效用函数

一、效用函数——偏好的数学表示

前面讲到了，理性的偏好可以用无差异曲线表示出来。既然偏好可以用图形和曲线表示出来，当然也可以用函数形式表示出来，这个函数就是效用函数。

如果在预算集 X 上存在函数 u = u （ x ）= u （ x ₁ ， x ₂ ），那么对于任意的两个消费束 x ^a =（ ， ）和 x ^b （ ， ），当且仅当 ，有 ，则称函数 u （ x ）为代表某一偏好的效用函数。

从效用函数的定义中我们看出，效用函数是指对每个可能的消费束指派一个数字的方法，对消费者更为偏好的消费束指派一个更大的数字，对偏好较低的消费束指派一个较低的数值。实际上，效用函数也就是消费者的偏好关系的数值表示方法。但是对消费束指派数值的方法有很多，如消费束 （ x ₁ ， x ₂ ）的一种指派方法构成的一个效用函数是 u （ x ₁ ， x ₂ ）= x ₁ x ₂ ，那么 x ₁ x ₂ +6是对消费束（ x ₁ ， x ₂ ）的另外一种指派方法，而这种指派方法构成的函数 u （ x ₁ ， x ₂ ）= x ₁ x ₂ +6也是一个效用函数，这一效用函数与前面的效用函数实际上代表同一偏好。为什么说它们代表同一偏好呢？这是因为，虽然两个效用函数指派的效用数值不一样，比如对消费束（1，1），前一种方法指派的数值为1，后一种指派的数值为7；对消费束（2，2），前一种方法指派的数值为4，后一种指派的数值为10，但是这两个效用函数所代表的大小顺序是一致的，7>1，10>4都代表着（2，2）≻（1，1）。既然两个效用函数所代表的赋值方法都是代表着消费束的相同排序，那么它们就代表着相同偏好。当然我们还可以找到更多由不同指派方法构成的效用函数与初始效用函数代表同一偏好的例子，如 u （ x ₁ ， x ₂ ）=2 x ₁ x ₂ 也与前面两个效用函数一样代表同一偏好。实际上，效用函数有这样一个性质：如果 u （ x ）是代表偏好的效用函数，那么 u （ x ）的单调变换还是一个效用函数，而且这个效用函数与原效用函数所代表的偏好是相同的。 u （ x ）的单调变换是指 u （ x ）的一个变换函数 f （ u ）。当 u ₁ > u ₂ 时， f （ u ₁ ）> f （ u ₂ ），那么 f （ u ）是 u （ x ）的一个单调变换。如果 f （ u ）是 u （ x ）的一个单调变换，那么 f [ u （ x ₁ ， x ₂ ）]也是一个效用函数，与效用函数 u （ x ₁ ， x ₂ ）所代表的偏好一样。实际上，前面的例子中 x ₁ x ₂ +6和2 x ₁ x ₂ 都是效用函数 u （ x ₁ ， x ₂ ）= x ₁ x ₂ 的单调变换，因此三者都是代表同一偏好的效用函数。

我们也可以从无差异曲线和效用函数的关系中加深对偏好、无差异曲线和效用函数的理解。我们知道无差异曲线遍布整个坐标系的第一象限，越远离原点，代表偏好水平越高。如果对每条无差异曲线赋一个值，要求越远离原点的无差异曲线赋的值越大，那么我们就可以通过无差异曲线构造效用函数，具体参见图2-14。

例如，我们对图2-14中的无差异曲线分别赋予 u ₁ ， u ₂ ， u ₃ 的值，其中 u ₃ > u ₂ > u ₁ 。很明显，如果对 u 做一个单调变换 f （ u ），相应无差异曲线的赋值就变为 f （ u ₁ ）， f （ u ₂ ）， f （ u ₃ ），且 f （ u ₃ ）> f （ u ₂ ）> f （ u ₁ ）。这只是改变了每条无差异曲线的赋值方法，而没有改变无差异曲线，当然也就没有改变偏好。反过来我们也可以看到，只要知道了一个效用函数，就可以画出无差异曲线。当效用值保持特定值不变时，我们从效用函数中就可以找到满足特定效用值的所有的（ x ₁ ， x ₂ ）组成的集合，这个集合就是无差异曲线。例如，效用函数为 u （ x ₁ ， x ₂ ）= x ₁ x ₂ ，当效用函数值为12 时，（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）等点就构成了效用为12的无差异曲线，见图2-15。

二、常见的效用函数

在经济学中，我们会陆陆续续遇到很多效用函数，这里我们介绍一些常见的常用的效用函数。

（一）完全替代品的效用函数

这对应着前面完全替代品的偏好。我们知道完全替代品的偏好是两种商品以固定比例进行替换，无差异曲线成线形。因此，完全替代品的效用函数的一般形式为

其替代比率或边际替代率为 a/b 。

（二）完全互补品的效用函数

这对应着前面完全互补品的偏好。完全互补品的偏好是指两种商品以固定比例搭配使用，单独增加一种商品并不会增加消费者的效用，这时的无差异曲线呈 L 形。实际上，从无差异曲线中我们可以看出完全互补品的偏好关键取决于转折点。因此，其效用函数的形式为

这个效用函数表示消费者每消费1个单位 x ₁ ，要和 a/b 个 x ₂ 搭配使用。

（三）柯布-道格拉斯效用函数

柯布-道格拉斯效用函数所代表的偏好是典型的具有良好性状的偏好：单调的和严格凸性的。其无差异曲线如图2-16所示。

（四）拟线性效用函数

拟线性效用函数的一般形式为

其中， f （ x ）为非线性函数。

之所以叫拟线性效用函数，是因为效用函数对商品1来说是线性的，对商品2来说是非线性的，因此效用函数呈现出“局部线性”或“拟线性”性质。拟线性效用函数对应着拟线性偏好。其无差异曲线如图2-17所示，其无差异曲线沿着横轴平行移动而得。

三、边际效用和边际替代率

边际效用是指每增加一个单位商品的消费所带来的消费者效用水平的增加，经济学用 MU 来表示。商品1的边际效用为 MU ₁ ，商品2的边际效用为 MU ₂ 。其数学表达式为：

有了效用函数和边际效用的概念，我们就很容易得到边际替代率的表达式为

证明：假设效用函数为 u （ x ₁ ， x ₂ ），则

因为 MRS 是无差异曲线的斜率， 所以 u 为定值，即d u （ x ₁ ， x ₂ ）=0，则

边际效用和边际替代率是两个既有联系又有区别的概念，很多读者没有透彻地理解这两个概念。从上面的分析中我们可以看出，边际替代率是边际效用的比值。同时，很多读者也往往混淆了边际替代率递减和边际效用递减这两个概念。他们认为边际替代率递减和边际效用递减是一回事，或者说是边际效用递减造成了边际替代率递减，但是这个观念是不正确的。实际上，边际效用递增也可以推出边际替代率递减。 gzXs8vYpU7sP5N8XwQhmKCAtbE0m3uGazLg4G1JcDU8AzVs/3NMAgggaquCWgfpX