1.2　代数式

1.2.1　代数式简介

1．代数式和代数式的值

（1）代数的基本含义是用字母来代表数、代表式。

（2）代数式：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，称为代数式。实数的运算规律也适用于代数式。单独的一个数或字母也是代数式。

（3）代数式的值：能用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的计算，计算出的结果称为代数式的值。

2．列代数式和公式

（1）列代数式：把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来，称为列代数式。

（2）公式：用等号连接起来的两个代数式，实际意义是表示物理量之间关系或数学运算关系的式子。

3．代数式分类

（1）代数式分类如下：

（2）单项式和多项式统称整式。

（3）分式：如果 A 、 B 为整式， B 中含有字母，式子 A / B 称为分式。

【例3】 说出下列代数式的意义。

（1） （2）

解： （1） a 乘以 b 与1的和的积。

（2） a 与 b 之和的倒数。

【例4】 当 a =0， a = ， a =0.6时，求代数式 的值。

解： （1） a =0时，有

（2） a = 时，有

（3） a =0.6 时，有

【1.2.1练习题】

1．判断下列各式哪些是代数式，哪些不是代数式。

（1） x + y （2）3( a + b )　（3） S = ab

（4）5+3+2　（5）0　（6） a + b = x + y

2．求代数式 的值。

（1） a =0　（2） a = （3） a =-1

3．用代数式表示：

（1）比 x 大5的数与比 y 少8的数的和。

（2）两个数 a 、 b 的平方和与这两个数积的差的倒数。

（3）每件上衣售价 a 元，降价10%后的售价。

4．一个长方形纸箱，它的长是 a ，宽是 b ，高也是 b ，试写出这个纸箱的体积公式。

1.2.2　整式的加减

1．单项式

（1）单项式：不含加法或减法运算，都是数字与字母的积，这样的整式称为单项式。

（2）单项式系数：单项式中的数字因数（包括前面的符号）。

（3）单项式次数：单项式中所有字母的指数的和。

【例5】 指出下列各单项式的系数和次数。

解： （1） - x ，系数为-1，次数为1。

（2）- ，系数为- ，次数为4。

2．多项式

（1）多项式：多个单项式的代数和。

（2）多项式的项：多项式中每一个单项式称为多项式的一项，有几个单项式称为几项式。多项式中不含有字母的项称为常数项。

（3）多项式的次：多项式中，次数最高的单项式的次数是多项式的次。

（4）多项式排列：

①降幂排列，即把一个多项式按其中某一个字母的指数由高到低的顺序排列。

②升幂排列，即把一个多项式按其中某一个字母的指数由低到高的顺序排列。

【例6】 指出多项式 是几次几项式，其常数项是多少？并按字母 a 降幂顺序重新排列。

解： 多项式为七次五项式，常数项为5。

降幂排列为

3．合并同类项

（1）同类项：多项式中所含字母相同且相同字母的指数分布对应相等的项。

（2）合并同类项：多项式中，凡同类项均可进行合并，合并的法则是系数与系数相加作为新的系数，字母和字母的指数不变。

（3）去括号和添括号：括号前面去掉（或添上）“+”号，括号内各项符号不变；括号前面去掉（或添上）“-”号，括号内各项都变号（正变负，负变正）。

【例7】 判断下列两个单项式是不是同类项。

（1） （2） mn 和-4 nm

（3） （4）8与8 b

解： （1） 不是同类项。

（2） mn 和-4 nm 是同类项。

（3） 不是同类项。

（4）8和8 b 不是同类项。

【例8】 合并同类项：

（1）

（2）

【例9】 对多项式4 a –（3 a -5 b -7 c） +3（-2 c +5 b ）去括号。

4．整式的加减

（1）整式的加减运算实际上就是合并同类项。

（2）运算的步骤是先去括号，再合并同类项。整式的加减结果仍为整式。

【例10】 计算：

（1）

（2）

【1.2.2练习题】

1．化简：

（1） 3 a +5 b - 5 a -7 b - 2 a -4 b

（2）

2．计算：

（1） A = ， B= ， C= ，求 A -2 B +3 C 。

（2）5 a + -2 a -[3× a -1 -4 2 a +1 ]，求 a =-1的值。

1.2.3　整式的乘法

1．同底数幂运算法则

a m a n = a m + n

a m ÷ a n = a m - n

( a m ) n = a mn

( ab ) n = a n b n

2．单项式的乘法

（1）积的系数为各个因式系数的积。

（2）相同字母相乘，按同底数幂的运算法则进行合并。

（3）保留仅在一个单项式中出现的因式。

3．单项式与多项式相乘

（1）法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，变成单项式的乘法。

（2）对乘积进行合并同类项整理。

4．多项式与多项式相乘

（1）法则：用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

（2）对乘积进行合并同类项整理。

5．常用乘法公式

( a + b )( a - b )= a 2 - b 2

( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2

( a - b ) 2 = a 2 -2 ab + b 2

( a + b )( a 2 - ab + b 2 )= a 3 + b 3

( a - b )( a 2 + ab + b 2 )= a 3 - b 3

( a + b ) 3 = a 3 +3 a 2 b +3 ab 2 + b 3

( a - b ) 3 = a 2 -3 a 2 b +3 ab 2 - b 3

【例11】 化简：

（1）

（2）

【例12】 化简：

【例13】 化简： 2 a +3 2 a -5 。

解： 原式

【1.2.3练习题】

1．计算：

（1）

（2）

2．计算：

（1）

（2）

（3）

3．计算：

（1）

（2） OOLVp6iaGPbNAS5RdnDYTjUcfakaffmI3ZbiqNaWJKugMPSdtj5DeukmMp7QF4pA