完全数之谜

公元前3世纪时，古希腊数学家在对数的因数分解中，发现了有的数的真因数之和彼此相等，于是诞生了亲和数；而有的真因数之和居然等于自身，于是发现了完全数。6是人们最先认识的完全数。

发现完全数

研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1、2、3之和还等于6。

古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完全数的概念。

约公元前300年，几何大师欧几里得在他的巨著《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完全数的方法，被誉为欧几里得定理：“如果2n－1是一个素数，那么自然数2n－1（2n－1）一定是一个完全数。”并给出了证明。

公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中，正确地给出了6、28、496、8128这四个完全数，并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明。

神秘的第五个完全数

完全数在古希腊诞生后，吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找。可是，一代又一代人付出了无数的心血，第五个完全数没人找到。

直到1202年才出现一线曙光。意大利的斐波那契，青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区，学到了不少数学知识。他才华横溢，回国后潜心研究所搜集的数学，写出了名著《算盘书》，成为13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人，并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。斐波那契没有放过完全数的研究，他经过推算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则，可惜没有人共鸣，成为过眼烟云。

1460年，有人偶然发现在一位无名氏的手稿中，竟神秘地给出了第五个完全数33550336。这比起第四个完全数8128大了4000多倍。跨度如此之大，在计算落后的古代可想发现者之艰辛了，但是，手稿里没有说明他用什么方法得到的，又没有公布自己的姓名，这更使人迷惑不解了。

不平凡的研究历程

16世纪意大利数学家塔塔利亚小时曾被法国入侵者用刀砍伤舌头，落下了口吃的疾患，后来靠自学成为一位著名数学家。他研究发现：当n＝2和n＝3至39的奇数时，2n－1（2n－1）是完全数。

17世纪“神数术”大师庞格斯在一本洋洋700页的巨著《数的玄学》中，一口气列出了28个所谓“完全数”，他是在塔塔利亚给出的20个的基础上补充了8个。可惜两人都没有给出证明和运算过程，后人发现其中有许多是错误的。

1963年，数学家克特迪历尽艰辛终于证明了无名氏手稿中第五个完全数是正确的，同时他还正确地发现了第六个和第七个完全数216（217－17）和218（219－1）但他又错误地认为222（223）－1、228（229－1）和236（237－1）也是完全数。这三个数后来被大数学家费马和欧拉否定了。

1644年，法国神甫兼大数学家梅森指出，庞格斯给出的28个“完全数”中，只有8个是正确的，即当n＝2，3，5，7，13，17，19，31时，2n－1（2n－1）是完全数，同时又增加了n＝67，127和257。

在未证明的情况下他武断地说：当n≤257时，只有这11个完全数。这就是著名的“梅森猜测”。

“梅森猜测”吸引了许多人的研究，哥德巴赫认为是对的；微积分发现者之一的德国莱布尼兹也认为是对的。他们低估了完全数的难度。

1730年，被称为世界四大数学家雄狮之一的欧拉，时年23岁，正值风华正茂。他出手不凡，给出了一个出色的定理：“每一个偶完全数都是形如2n－1（2n－1）的自然数，其中n是素数，2n－1也是素数”，并给出了他一直没有发表的证明。这是欧几里得定理的逆理。有了欧几里得与欧拉两个互逆定理，公式2n－1（2n－1）成为判断一个偶数是不是完全数的充要条件了。

欧拉研究“梅森猜想”后指出：我冒险断言：每一个小于50的素数，甚至小于100的素数，使2n－1（2n－1）是完全数的仅有n取3，5，7，13，17，19，31，41，47，我以一个优美的定理出发得到了这些结果，我自信它们具有真实性。1772年，欧拉因过度拼命研究使双目已经失明了，但他仍未停止研究，他在致瑞士数学家丹尼尔的一封信中说：“我已经心算证明n＝31时220（231－1）是第8个完全数。”同时，他发现他过去认为n＝41和n＝47时是完全数是错误的。

欧拉定理和他发现的第8个完全数的方法。使完全数的研究发生了深刻变化，可是，人们仍不能彻底解决“梅森猜测”。

1876年法国数学家鲁卡斯创立了一种检验素数的新方法，证明n＝127时确实是一个完全数，这使“梅森猜测”之一变成事实，鲁卡斯的新办法给研究完全数者带来一线生机，同时也动摇了“梅森猜测”。因数家借助他的方法发现猜没中n＝67，n＝257时不是完全数。

在以后1883—1931年的48年间，数学家发现“梅森猜测”中n≤257范围内漏掉了n＝61，89，107时的三个完全数。

至此，人们前赴后继，不断另辟新路径，创造新方法，用笔算纸录，耗时两千多年，共找到12个完全数，即n＝2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107，127时，2n－1（2n－1）是完全数。

笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完全人亦非易事。”

历史证明了他的预言。

从1992年开始，人们借助高性能计算机发现完全数，至1996年才找到18个。

等待揭穿之谜

迄今为止，发现的30个完全数，统统都是偶数，于是，数学家提出猜测：存不存在奇数完全数。

1633年11月，法国数学家笛卡尔给梅森一封信中，首次开创奇数完全数的研究，他认为每一奇完全数必具有PQ2的形式，其中P是素数，并声称不久他会找到，可不仅直到他死时未能找到，而且至今，没有任何一个数学家发现一个奇完全数。这成为世界数论又一大难题。

虽然，谁也不知道它们是否存在，但经过一代又一代数学家研究计算，有一点是明确的。那就是如果存在一个奇完全数的话，那么它一定是非常大的。

有多大呢？远的不说，当代大数学家奥尔检查过要1018以下自然数，没有一个奇完全数；1967年，塔克曼宣布，如果奇完全数存在，它必须大于1036，这是一个37位数；1972年，有人证明它必大于1050，1982年，有人证明，它必须大于10120；……这种难于捉摸的奇完全数也许可能有，但它实在太大，以至超出了人们能够用计算机计算的范围了。

对奇完全数是否存在，产生如此多的估计，也是数学界的一大奇闻！

关于完全数还有许多待揭之谜，比如：完全数之间有什么关系？完全数是有限还是无穷多个！存在不存在奇完全数？

人们还发现完全数的一个奇妙现象，把一个完全数的各位数字加起来得到一个数，再把这个数的各位数字加起来，又得到一个数，一直这样做下去，结果一定是1。例如，对于28，2＋8＝10，1＋0＝1对于496有，4＋9＋6。19，1＋9＝10，1＋0＝1等等。这一现象，对除6外的所有完全数是否成立？

以上这些难题，与其他数学难题一样，有待人们去攻克。