1.4.2 动态特性

传感器的动态特性是指其输出对于随时间变化的输入量的响应特性。当被测量的变化是时间的函数时，则传感器的输出量也是时间的函数，其时间关系要用动态特性来表示。

实际上大量的被测量信号是动态信号，这时传感器的输出能否良好地追随输入量的变化是一个很重要的问题。有的传感器尽管其静态特性非常好，但不能很好地追随输入量的快速变化而导致严重误差。一个动态特性好的传感器，其输出将再现输入量的变化规律，即具有相同的时间函数。实际上除了具有理想的比例特性外，输出信号将不会与输入信号具有完全相同的时间函数，这种输入与输出间的差异就是所谓的动态误差。

我们以动态测温的问题来简要说明传感器的动态特性。在被测温度随时间变化或传感器突然插入被测介质中，以及传感器以扫描方式测量某温度场的温度分布等情况下，都存在动态测温问题。如把一支热电偶从温度为 t ₀ ℃环境中迅速插入一个温度为 t ℃的恒温水槽中（插入时间忽略不计），这时热电偶测量的介质温度从 t ₀ ℃突然上升到 t ℃，而热电偶反映出来的温度从 t ₀ ℃变化到 t ℃需要经历一段时间，即有一段过渡过程，如图1－4所示。热电偶反映出来的温度与介质温度的差值就称为动态误差。

造成热电偶输出波形失真和产生动态误差的原因，是因为温度传感器有热惯性和传热热阻，使得在动态测温时传感器输出总是滞后于被测介质的温度变化。如带有套管的热电偶的热惯性要比裸热电偶大得多。这种热惯性是热电偶固有的，这种热惯性决定了热电偶测量快速温度变化时，会产生动态误差。影响动态特性的“固有因素”任何传感器都有，只不过它们的表现形式和作用程度不同而已。

1.传递函数

假设传感器在输入－输出存在线性关系（即传感器是线性的，特性不随时间变化）的范围内使用，则它们之间的关系可用高阶常系数线性微分方程表示：

式中： y 为输出量； x 为输入量； a _i ， b _i 为常数。对上式进行拉普拉斯变换，由

并设 t ＝0时， （ i ＝0，1，…）全部为0，得到

式中： X （s）为输入的拉氏变换； Y （s）为输出的拉氏变换； G （s）称为拉氏形式的传递函数，或简称传递函数。即输出的拉氏变换等于输入的拉氏变换乘以传递函数。

传递函数在数学上的定义是：初始条件为零时，输出量（响应函数）的拉氏变换与输入量（激励函数）的拉氏变换之比。

传递函数表示系统本身的传输、转换特性，与激励及系统的初始状态无关。同一传递函数可能表征着两个完全不同的物理（或其他）系统，但说明它们有相似的传递特性。

虽然传感器的种类和形式很多，但它们一般可以化简为一阶或二阶系统（高阶可以分解成若干个低阶环节）。因此，一阶和二阶传感器是基本的。传感器的输入量随时间变化的规律是各种各样的，下面在对传感器动态特性进行分析时，采用最典型、最简单、易实现的正弦信号和阶跃信号作为标准输入信号。对于正弦输入信号，传感器的响应称为频率响应或稳态响应；对于阶跃输入信号，则称为阶跃响应或瞬态响应。

2.瞬态响应特性

传感器的瞬态响应是时间响应，应采用时域分析法即从时域中对传感器的响应和过渡过程进行分析，传感器对所加激励信号响应称为瞬态响应。下面以传感器的单位阶跃响应来评价传感器的动态性能指标。

（1）一阶系统的阶跃响应

一个起始静止的传感器若输入一单位阶跃信号：

其输出信号称为阶跃响应。因为

由拉氏反变换得

其响应曲线如图1－5所示。

（2）二阶系统的阶跃响应二阶传感器的传递函数为

式中： ω _n 为传感器的固有频率； ξ 为传感器的阻尼比。

在单位阶跃信号的作用下，传感器的输出拉氏变换为

二阶传感器对阶跃信号的响应在很大程度上取决于阻尼比 ξ 和固有频率 ω _n 。固有频率 ω _n 由传感器的主要结构参数所决定， ω _n 越高，传感器的响应速度越快。固有频率 ω _n 为常数时，传感器的响应主要取决于阻尼比 ξ 。

图1－6是二阶系统的阶跃响应曲线。由图可知，阻尼比直接影响超调量和震荡次数。 ξ ＝0时为临界阻尼，超调量为100％，产生等幅震荡，达不到稳态； ξ ＞1时为过阻尼，无超调和震荡，但是达到稳态所需时间较长； ξ ＜1时为欠阻尼，衰减震荡，达到稳态值所需时间随 ξ 的减小而加长； ξ ＝1时响应时间最短。实际使用中常按稍欠阻尼调整， ξ ＝0.7～0.8最好。

（3）瞬态响应特性指标

①时间常数 τ ：一阶传感器时间常数 τ 越小，响应速度越快。

②延时时间 t _p ：传感器输出达到稳态值的50％所需时间。

③上升时间 t _r ：传感器输出达到稳态值的90％所需时间。

④超调量 σ ：传感器输出超过稳态值的最大值。

3.频率响应特性

传感器对正弦输入信号的响应特性称为频率响应特性。频率响应法是从传感器的频率特性出发研究传感器的动态特性的方法。

（1）一阶系统的频率响应

将一阶传感器的传递函数中的 s 用 j ω 代替后，即可获得频率特性表达式为

幅频特性为

相频特性为

一阶系统的幅频特性和相频特性曲线如图1－7所示，图中纵坐标增益采用分贝值，横坐标 ω 也是对数坐标，但直接标注 ω 值，这种图又称为伯德（Bode）图。

由图可知，时间常数 τ 越小，频率响应特性越好。一阶系统只有在 τ 很小时才近似于零阶系统特性（即 H （ ω ）＝ k ， Φ （ ω ）＝0）。当 ωτ ＝1时，传感器输入－输出为线性关系，且相位差很小，输出 y （ t ）比较真实地反映输入 x （ t ）的变化规律。

综上所述，用一阶系统描述的传感器，其动态响应特性的优劣也主要取决于时间常数 τ 。 τ 越小越好， τ 小时，则阶跃响应的上升过程快，而频率响应的上截止频率高。

（2）二阶系统的频率响应

二阶传感器的频率特性表达式、幅频特性、相频特性分别为

二阶传感器的伯德图如图1－8所示。当 ξ ＜1／ 时，在 ω _n 附近振幅具有峰值，即产生共振现象， ξ 越小峰值越高。 ω ＝ ω _n 时，相位有90°滞后，最大相位滞后为180°， ξ 越大，相位滞后变化越平稳。

（3）频率响应特性指标

①频带：传感器增益保持在一定值内的频率范围为传感器频带或通频带，对应有上、下截止频率。

②时间常数 τ ：用时间常数来表征一阶传感器的动态特性。 τ 越小，频带越宽。

③固有频率 ω _n ：二阶传感器的固有频率 ω _n 表征了其动态特性。 sql5WVlSZcsoHy1yVe9VBA+9sjQlgi09TBFZh2dUHtOW6IwtpGIzTsyhWi/ez70F