第二节

测量结果的不确定度评定

一、表征测量结果质量的指标

1.精密度、准确度和精确度

精密度、准确度和精确度都是评价测量结果好坏的指标，但这三个指标的含义不同，使用时应加以区别。

精密度是衡量多次测量数值之间互相接近程度的量，它反映随机误差大小的程度。测量精密度高，是指测量数据比较集中，随机误差小。但是，精密度不能确定系统误差的大小。

准确度是反映所测数值与真值接近程度的量，它反映系统误差大小的程度。测量准确度高，是指测量数据的平均值偏离真值较少，系统误差小。但是，准确度不能确定数据分散的情况，即不能反映随机误差的大小。

精确度是指测量数据比较集中在真值附近，它反映系统误差与随机误差综合大小的程度。测量精确度高，是指测量数据既比较集中一致，又在真值附近，即测量的系统误差和随机误差都比较小。现以射击打靶的弹点分布为例说明这三个指标的意义。

如图1-2-1所示，图（a）表示精密度高而准确度低，图（b）表示准确度高而精密度低，图（c）表示精密度和准确度均高，即精确度高。通常所说的精度含义不明确，应尽量避免使用。

2.测量不确定度

误差是测量值与真值之差，由于真值一般不可能准确地知道，因而测量误差也不可能确切获知，要求得误差的估计值，现实可行的办法就只能根据测量数据和测量条件进行推算。但由于测量误差分析方法的不统一，影响了计量测试乃至整个科学技术的交流和发展。于是国际标准化组织等七个国际组织于1993年联合公布了《测量不确定度表示指南》（以下简称《指南》），它对当前国际上在评定测量结果可靠性方面进行了新的约定，目的是统一测量不确定度的评定与表示方法。

《指南》对实验的测量不确定度有十分严格而详尽的论述，限于本课程的性质，只要求对不确定度的下述基本概念有初步的了解。

测量不确定度是指由于误差的存在而对测量结果不能肯定的程度，它是与测量结果相关的参数，表征合理赋予的被测量值之间的分散性，即提供测量结果的范围，使被测量的真值能以一定概率位于其中。

显然，不确定度小的测量结果，其可信赖程度高，反之则低。

由于误差来源众多，测量结果不确定度一般包含几个分量。为了估算方便，按估计误差数值的不同方法，可以将其分为A、B两类分量。

二、不确定度的分类

（1）A类不确定度（不确定度的A类分量）：用统计的方法分析评定的不确定度，用 _{u A} 表示。

对某物理量 x 做 n 次独立的测量，测量值为 x ₁ ， x ₂ ， x ₃ ，…， x _n ，则直接测量量的A类不确定度分量就用平均值的实验标准偏差乘以 t 因子表示，即

t 因子与测量次数和置信概率有关，其数值可以根据测量次数和置信概率查表得到。当测量次数较少或置信概率较高时， t ＞1；当测量次数 n ≥10，且置信概率为68.3％时， t ≈1；在本课程的教学中，为了简便，一般就取 t ＝1。

（2）B类不确定度（不确定度的B类分量）：由非统计的方法分析评定的不确定度，用 u _B 表示。实验中尽管有多方面的因素存在，本课程一般只考虑仪器误差这一主要因素。我们用仪器的等价标准差 近似表示不确定度的B类分量，即

（3）直接测量值的合成不确定度。

在各不确定度分量相互独立的情况下，将两类不确定度分量按“方和根”的方法合成，构成合成不确定度，即

三、测量结果的表达

1.直接测量结果的不确定度表示

直接测量量 x 的测量结果常表示为

对于测量结果，同时还可以用相对不确定度表示

例如，所测长度为（1.05±0.02）m。这是不确定度的一般表示法。

在表示测量结果时，应注意以下几点：

（1）不确定度有效数字的取位

由于不确定度本身只是一个估计范围，所以其有效数字一般只取一位或两位。我们约定对测量结果的合成不确定度（或总不确定度）只取一位有效数字，相对不确定度可取两位有效数字。此外，我们还约定，最终结果截取剩余尾数一律采取进位法处理，即剩余尾数只要不为零，一律进位，其目的是保证结果的置信概率不降低。

（2）测量结果有效数字的取位

测量结果本身的有效数字取位必须使其最后一位与不确定度最后一位取齐。截取剩余尾数按“四舍六入五凑偶”的规则进行修约。

例1 x ＝（9.80±0.03）cm是正确的表示，而 x ＝（9.803±0.03）cm和 x ＝（9.8±0.03）cm均是不正确的表示。

例2 经计算的长度值为 x ＝3.548 25 m，若不确定度为0.000 3 m，则应取测量值的结果为 x ＝3.548 2 m；若不确定度为0.002 m，则应取测量值为 x ＝3.548 m；若不确定度为0.05 m，则应取测量值为 x ＝3.55 m；若不确定度为0.1 m，则应取测量值为 x ＝3.5 m。（如以毫米为单位，则应写成3.5×10 ³ mm，绝不可写成3 500 mm）

例3 用千分尺测量小球直径8次，得到数据如下（单位：mm）：2.117，2.123，2.113，2.119，2.116，2.118，2.115，2.121。计算测量结果并给出不确定度。

解 ：①小球直径的算术平均值 。

②这次测量的平均值的实验标准偏差为

（中间运算多取一位）

③ A类分量估算值

④ B类分量的估算值：千分尺的仪器误差限 Δ _仪 ＝0.004 mm。

⑤合成不确定度为

⑥测量结果为

2.间接测量结果的不确定度的计算（不确定度的传递）

设 N ＝ f （ x ， y ， z ，…）。由于 x 、 y 、 z 具有不确定度 u （ x ）、 u （ y ）、 u （ z ）…， N 也必然具有不确定度 u （ N ），所以对间接测量量 N 的结果也需采用不确定度评定。

（1）间接测量量的最佳值

在间接测量中，可以证明，间接测量量的最佳值由各直接测量量的算术平均值代入函数关系即可求得。

（2）间接测量量不确定度的合成

由于直接测量量具有不确定度，从而导致间接测量量也具有不确定度。

因为不确定度是一个微小量，故可借助微分手段来研究。对式（1-2-6）两边取微分，得

也可两边先取自然对数，再取微分，得

式中，各求和项称为不确定度项，当直接测量量 x 、 y 、 z 、…彼此独立时，间接测量量 N 的不确定度为各分量的均方根

相对不确定度

于不确定度 u （ N -对）、 E _r 及算术平均值 N -，有效数字的取位规则与直接测量量的取位规则相同。

例4 已知一个质量为 m ＝（213.04±0.05）g的铜圆柱体，用分度值为0.02 mm的游标卡尺测量其高度 h 六次，其值分别为80.38、80.37、80.36、80.38、80.36、80.37，用千分尺测其直径 d 也是六次，其值分别为19.465、19.466、19.465、19.464、19.467、19.466，以上数值的单位均为mm。求铜的密度。

解：①求高度的最佳值和不确定度

游标卡尺的 Δ _仪 ＝0.02 mm＝0.002 cm。

②求直径的最佳值和不确定度

千分尺的 Δ _仪 ＝0.004 mm＝0.000 4 cm。

③密度的算术平均值

④密度的不确定度

⑤密度测量的最后结果为

（3）微小误差准则

当合成不确定度来自多个分量的贡献时，常常可能只有一、二项或少数几项起主要作用，对不确定度贡献小的不确定度项可以忽略不计，通常某一不确定度项小于最大不确定度项的1／3，最小平方项小于最大平方项的1／9，就可以略去不计，这就是微小误差准则。在进行误差分析或计算不确定度时，这样处理可以使问题大大简化。 Nxr1bIKFbVdNyuCwgLdHejdNB57gxtgeH5EgZTQuVzLQq8CTVwB9fWKpxtc+R8JI