第一节

测量与误差

一、测量

所谓测量，就是借助一定的实验工具，通过一定的实验方法，将待测量与选作计量单位的同类物理量进行比较，以确定被测量的量值为目的的一组操作。简而言之，测量就是为被测对象确定量值而进行的操作。

测量可分为直接测量和间接测量两种。

可以用测量仪器或仪表直接读出测量值的测量称为直接测量。例如用米尺测长度、用温度计测温度、用秒表测时间等都是直接测量，所得的物理量如长度、温度、时间等称为直接测量量。

有些物理量无法进行直接测量，而需由若干个直接测量量经过一定的函数关系求出，这样的测量称为间接测量。大多数的物理量都是间接测量量。例如，要测铁圆柱体的密度 ρ 时，先测出其质量 m 、直径 d 和高度 h ，再根据公式 计算出铁的密度 ρ ，这就是间接测量，而 ρ 就是间接测量量。

二、误差

1.真值与误差

任何一个物理量，在一定条件下，都具有确定的量值，这个客观存在的量值称为该物理量的真值。测量的目的就是要力图得到被测量的真值。由于测量仪器、测量方法、测量条件、测量者的观察力等都不能做到绝对严密，测量值与真值不可能完全相同，我们把测量值与真值之差称为误差。设被测量的真值为 x ₀ ，测量值为 x ，则绝对误差

相对误差

2.最佳值与残差

实际测量中，为了减小误差，常常对某一物理量进行多次测量，得到一系列测量值 x ₁ ， x ₂ ， x ₃ ，…， x _n ，测量结果的算术平均值为

算术平均值并非真值，但它比任何一次测量值的可靠性都要高。当测量次数 n 无限增多时，算术平均值 可作为接近真值的最佳值，称为近真值。我们把测量值 x _i 与算术平均值 之差称为该次测量的残差，以 υ _i 表示，即

三、误差的分类

正常测量的误差，按其产生的原因和性质可以分为系统误差和随机误差两类，它们对测量结果的影响不同，对这两类误差处理的方法也不同。

1.系统误差

在同样条件下，对同一物理量进行多次测量，其误差的大小和符号保持不变，在测量条件改变时，其误差的大小和符号按一定规律变化，这类误差称为系统误差。系统误差具有确定性、规律性和可修正性，它主要来源于下列几方面：

（1）仪器因素。由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用而造成的误差。例如，仪器标尺的刻度不准确、零点没有调准、等臂天平的臂长不等、砝码不准等。

（2）理论或条件因素。由于测量所依据的理论本身的近似性或实验条件不能达到理论公式所规定的要求而引起的误差。例如，称物体质量时没有考虑空气浮力的影响、用伏安法测电阻时没有考虑电表内阻的影响等等。

（3）人员的因素。由于实验者的主观因素和操作技术而引起的误差。例如，使用停表计时，有的人总是操之过急，计时比真值短；有的人则反应迟缓，计时总是比真值长。再如，有的人习惯于侧坐斜视读数，致使读数偏大或偏小。

对实验者来说，系统误差的规律及其产生的原因，可能知道，也可能不知道。已被确切掌握其大小和符号的系统误差称为可定系统误差，对于大小和符号不能确切掌握的系统误差称为未定系统误差，前者一般可以在测量过程中采取措施予以消除，或在测量结果中进行修正，而后者一般难以修正，只能估计其取值范围。

2.随机误差

在相同条件下，多次测量同一物理量时，即使排除了系统误差的影响，也会发现每次测量的结果都不一样，测量误差时大时小、时正时负，完全是随机的。在测量次数少时，显得毫无规律，但当测量次数足够多时，可以发现误差的大小和正负都服从某种统计规律。这种误差称为随机误差。随机误差的特征是单个具有随机性，而总体服从统计规律。它的这种特点使我们能够在确定条件下，通过多次重复测量来发现它，而且可以从相应的统计分布规律来讨论它对测量结果的影响。

3.过失误差

过失误差是由于实验者不正确地使用仪器或粗心大意观察错误、记错数据而造成的。过失误差又称为粗大误差。它实际上是一种测量错误，相应的数据应当予以剔除。

四、误差的处理

1.系统误差的处理

（1）系统误差的发现

系统误差一般难以发现，并且不能通过多次测量来消除，我们应从系统误差的来源着手分析。

理论分析法：分析实验所依据的理论和实验方法是否有不完善的地方；检查理论公式所要求的条件是否得到了满足；仪器是否存在缺陷；实验环境是否能使仪器正常工作等。

实验对比法：对同一测量可以采用不同的实验方法，使用不同的实验仪器，以及由不同的测量人员进行测量、对比、研究测量值变化的情况，可以发现系统误差的存在。

数据分析法：因为随机误差是遵从统计分布规律的，所以若测量结果不服从统计规律，则说明存在系统误差。我们可将绝对误差按测量次序排列，观察其变化，若绝对误差不是随机变化而是呈规律变化，如线性增大或减小，则测量中一定存在系统误差。

（2）系统误差的减小和修正

①减小或消除产生系统误差的根源。如采用更符合实际的理论公式，满足仪器的正常使用条件，保持仪器及装置处于良好的状态等。

②利用实验技巧，改进测量方法。

③通过理论公式引入修正值。

2.随机误差的处理

（1）标准偏差

在相同条件下，对某一物理量进行多次测量称为等精度测量。测量列就是等精度测量所得到的一组数值。由于随机误差的存在，各测量值有所不同，标准偏差是对这一组测量数据可靠性的一种评价。

当测量次数无限增多时，各测量值 x _i 的误差平方的平均值的平方根，称为标准偏差，也称为标准差，以 σ 表示，即

式中 n 为测量次数。

σ 并不是一个具体的测量误差，它反映在相同条件下进行一组测量后，随机误差概率的分布情况，只具有统计性质的意义，是一个统计性的特征值。

（2）随机误差的统计规律

大量的实验事实和统计理论都证明，大多数情况下，随机误差服从正态分布规律，误差的正态分布如图1-1-1所示。横坐标为误差 Δ x ，纵坐标为误差出现的概率密度函数 f （ Δ x ）， f （ Δ x ）的含义是在 Δ x 附近，单位误差间隔内该误差出现的概率，其数学表达式为

正态分布曲线具有以下性质：

①单峰性：绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大。

②对称性：绝对值相同的正负误差出现的概率相同。

③有界性：在一定的测量条件下，误差的绝对值不超过一定的限度。

④抵偿性：随机误差的算术平均值随着测量次数的增加而减小，最后趋于零。

由概率论可知，随机误差落在（ Δ x ， Δ x +d x ）区间内的概率为 f （ Δ x ）d x ，测量数据出现在某一区间的概率可以由正态分布函数在该区间的积分求得，这个概率称为置信概率，所对应的区间称为置信区间。若置信区间为［-∞，+∞］，则

式（1-1-7a）表明，当 n ＝∞时，任何一次测量误差落在［-∞，+∞］置信区间的概率为1，满足归一化条件；若置信区间为［- σ ，+ σ ］，则

式（1-1-7b）表明，任何一次测量误差落在［- σ ，+ σ ］置信区间的概率为68.3％，在图1-1-1中表示曲线下阴影部分面积占总面积的68.3％。如果扩大置信区间，置信概率也将提高；如果区间扩大到［-2 σ ，+2 σ ］和［-3 σ ，+3 σ ］，可以分别得到

可见，测量标准差的绝对值大于3 σ 的概率仅为0.3％，对于有限次测量，这种可能性是微乎其微的。因此，可以认为是测量失误，应予以剔除。因此，物理实验中常将3 σ 作为判定数据异常的标准，3 σ 称为极限误差。

（3）随机误差的实际估算

实际测量中，测量的次数总是有限的，而且真值也不可知，因此，标准误差只有理论上的意义。对标准误差 σ （ x ）的实际处理只能估算。实验中我们只知道残差 而不知道误差 Δ x _i ，所以实验中我们只能用残差代替误差计算，用实验标准偏差 s （ x ）近似代替标准误差 σ （ x ），实验标准偏差 s （ x ）与残差的关系为

这个公式又称为贝塞尔公式，它是求实验标准偏差的常用公式。

应当指出， s （ x ）是从有限次测量中计算出来的，只有测量次数较多时，其相应的置信概率才接近68.3％。

（4）平均值的实验标准偏差

如果在完全相同的条件下进行多次多组重复测量，可以得到许多个测量列，每个测量列的算术平均值不尽相同，它们围绕被测量真值有一定的分散，但仍服从正态分布。由误差理论可以证明，平均值 x -的实验标准偏差 s （ x -）为

式（1-1-9）表明，平均值的实验标准偏差 是 n 次测量中任一次测量值实验标准偏差 倍。

由此可知，增加测量次数，可以减小平均值的实验标准偏差，提高测量的准确度。但是，单凭增加测量次数来提高准确度的作用是有限的，当 n ＞10时，随测量次数 n 的增加， 减小得很缓慢。因此，在多次测量时，一般取10次左右就够了。

（5）仪器的标准偏差

测量是用仪器或量具进行的，有的仪器灵敏度较高，有的仪器灵敏度较低，但任何仪器均存在误差。我们把在正确使用仪器的条件下，测量所得结果的最大误差称为仪器的误差限，用 Δ _仪 表示。

仪器的误差限一般由生产厂家在仪器铭牌或仪器说明书中给出。对于未说明仪器误差限、又不知道仪器准确度级别的，可根据具体情况做出合理的估算，例如取仪器最小分度值作为仪器误差限。表1-1-1列出了实验室常用仪器的误差限。

一般仪器误差概率密度函数遵从均匀分布的规律，如图1-1-2所示。在- Δ _仪 到 Δ _仪 的范围内，各种误差出现的概率相同，在区间以外误差出现的概率为零。由数学计算可得仪器的标准误差 σ _仪 为