实验3.2

刚体转动惯量的实验研究

转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，它的大小不仅取决于刚体的质量，而且还与刚体的质量分布和转轴位置有关。对于形状简单且质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以直接计算出它绕特定轴的转动惯量。对于质量分布不均匀、几何形状不规则的刚体，用数学方法计算其转动惯量相当困难，故常用实验的方法来测定。因此，学会刚体转动惯量的测定方法具有重要的实际意义。

测定转动惯量的方法很多，如用三线摆、扭摆、转动惯量仪等，本实验是采用三线摆，其特点是操作简便，比较实用，对于形状复杂的刚体亦可以进行测量。为了将实验结果与理论值进行比较，本实验仍采用形状规则的刚体。

一、实验目的

（1）学会用三线摆测定物体的转动惯量；

（2）学会正确测量长度、质量和时间的方法；

（3）验证转动惯量的平行轴定理。

二、实验原理

图3-2-1是三线摆实验装置的原理图。上、下圆盘均处于水平状态，并悬挂在横梁上。等长的三条悬线对称地将两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴 OO′ 做扭转摆动。当下圆盘转动角度很小且略去空气阻力时，扭转摆动可近似看作简谐运动。根据能量守恒定律和刚体转动定律可以导出物体绕中心轴 OO′ 的转动惯量（推导过程见本实验附录）：

式中： m ₀ 为下圆盘质量； r 和 R 分别为摆线悬点到上、下圆盘中心的距离，如图3-2-2所示，其大小可通过测量上、下两圆盘的悬点间距求得，若上、下两圆盘的悬点间距为 a 和 b ，则 ， ； H 为两盘间垂直距离； T ₀ 为摆动周期； g 为重力加速度。

欲测质量为 m ₁ 的物体相对于某固定轴的转动惯量，只要将该物体放在下盘上，并使其转轴与 OO′ 轴重合。测出此时物体和下圆盘共同的摆动周期 T ₁ ，则系统总的转动惯量为

那么，待测物体绕 OO′ 轴的转动惯量为

用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为 m ₂ 的物体绕通过其中心轴的转动惯量为 J _C ，当转轴平行移动距离 x 时（图3-2-3），物体对新轴 OO′ 的转动惯量为 J ＝ J _C + m ₂ x ² 。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。

实验时将质量均为 m ₂ 、形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下圆盘有对称的两个小孔），如图3-2-4所示。按同样的方法，测出两小圆柱体和下圆盘绕中心轴 OO′ 的转动周期 T ₂ ，则可求出两圆柱体对中心轴 OO′ 的转动惯量：

一个圆柱体对中心轴 OO′ 的转动惯量：

如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离 x 以及小圆柱体的半径 R _x ，则由平行轴定理可求得

比较 J _x 与 的大小，可验证平行轴定理。

三、实验仪器

三线摆实验仪、米尺、游标卡尺、电子秒表、物理天平等。

三线摆实验仪的装置如图3-2-5所示，仪器的各部分名称如图标所示。

四、实验内容与步骤

1.调整三线摆装置

（1）利用上圆盘上的三个调节螺丝，使三根摆线等长，并用螺钉将其固定。

（2）观察下圆盘中心的水准器，并调节底板上三个调节螺钉，使下圆盘处于水平状态。

（3）调整底板上方的光电传感接收装置，使下圆盘边上的挡光杆能自由往返通过光电槽口，并注意挡光杆能有效挡光。

2.测量下列各参数

（1）各刚体的质量；

（2）上下圆盘三悬点之间的距离 a 和 b ，并算出平均值 和 ，然后根据 和 R ＝ ，算出悬点到中心的距离 r 和 R （也称有效半径）；

（3）测出上下两圆盘之间的垂直距离 H ，测出圆盘直径 D ₀ 、待测圆环的内径 D ₁ 和外径 D ₂ 、小圆柱体的直径 D _x 和放置两小圆柱体小孔间距2 x 。

3.测量圆盘的转动惯量

（1）将光电传感器与测试仪用专用导线连接，再设定计数次数，按“置数”键后，再按“下调”或“上调”键调至所需的次数，再按“置数”键确定。

（2）下圆盘处于静止状态，拨动上圆盘的“转动手柄”，将上圆盘转过一个小角度（5°左右），带动下圆盘绕中心轴 OO′ 做微小扭摆运动。摆动数次后按测试仪上的，“执行”键，光电门开始计数（同时状态显示灯闪烁）。到给定的次数后，状态显示灯停止闪烁，此时测试仪显示的计数为总的时间 t ₀ ，从而得到摆动周期 n （ n 为摆动次数）。如此测5次，取平均值。进行下一次测量时，测试仪先按“返回”键。

（3）由式（3-2-1）计算圆盘的转动惯量。

4.测量圆环的转动惯量

（1）将圆环放在下圆盘上，使两者的中心轴线重叠，按步骤3测定摆动周期 T ₁ 。

（2）由式（3-2-2，3-2-3）计算圆盘的转动惯量。

5.验证平行轴定理

（1）将两小圆柱体对称放置在下圆盘上，用上述同样的方法测定摆动周期 T ₂ 。

（2）由式（3-2-4，3-2-5）计算圆柱体对中心轴 OO′ 的转动惯量。

（3）将结果与式（3-2-6）的计算结果比较，验证平行轴定理。

五、实验数据记录与处理

1.实验数据记录

下圆盘质量 m ₀ ＝___；待测圆环质量 m ₁ ＝___；圆柱体质量 m ₂ ＝___。

2.圆盘的转动惯量

理论值 ___；

求相对误差 。

3.圆环的转动惯量

理论值 ；

求相对误差 。

4.圆柱体对中心轴 OO′ 的转动惯量

由平行轴定理计算出的理论值：

比较实验值与理论值。

六、预习思考题

1.用三线摆测刚体转动惯量时，为什么必须保持下圆盘水平？

2.三线摆在什么位置开始计时测量误差最小？

3.在测量过程中，如下圆盘出现晃动，对周期的测量有影响吗？如有影响，应如何避免？

4.三线摆下圆盘放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大？为什么？

5.测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下圆盘转轴不重合，对实验结果有何影响？

七、复习思考题

如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？

八、附录

转动惯量测量式的推导

在图3-2-6中，当下圆盘扭转振动，其转角 θ ₀ 很小时，其扭动是一个简谐振动，其运动方程为

当摆离平衡位置最远时，其重心升高 h 。由机械能守恒定律，有

即

而

将式（3-2-11）代入式（3-2-8），得

从图3-2-6中的几何关系中，可得

简化，得

略去 ，因转角较小（ θ ₀ ＜10°），故有 。

则 ，于是有

代入式（3-2-12），得

即得式（3-2-1）。

实验方法指导之二——几种减小误差的测量方法

在基础物理实验中，有许多减小误差特别是系统误差的方法，在实验过程中，应不断学习、长期积累，并把它上升到实验思想的高度加以归纳，并运用到以后的学习和工作中。

1.差值测量法

在“声速测量”实验中，发射和接收换能器的端面位置很难严格平行，两个换能器端面距离也很难严格读出，但换能器移过的距离却比较容易测定。该实验正是由此来测得超声波的波长。

这种方法可以有效地消除大小未知的定值系统误差。本实验发射-接收换能器端面的距离中包含了近场末端效应的影响，采用差值测量，其影响就被消除了。由于扣除了零点或本底的系统误差，可使测量的准确度大幅度地提高；另一个典型的例子是千分尺（螺旋测微仪），被测量的值等于测量值扣除零点读数。这在物理实验和其他实验研究中十分常见。

然而差值测量法如果使用不当，也可能出问题。如三线摆测转动惯量实验中关于平行轴定理的验证，小圆柱体对过质心转轴的转动惯量公式为

式中， J _x 为小圆柱体质心距转轴为 x 时的转动惯量。本实验中， J ₀ 是一个固定不变的小量，而 J _x 和 mx ² 均远大于 J ₀ ，因而出现了两个大数相减得一小数的情况。在这种情况下，即使 J _x 和 mx ² 的测量误差都很小，但由于它们的差值也很小，因此计算出的转动惯量仍可能有较大的误差。正因为如此，该实验只讨论平行轴定理的验证，而不涉及小圆柱体对过质心转轴的转动惯量的测量。在实验设计中，应注意避免两个大数相减得小数的情况出现。

2.累计测量法

对一个等间隔或重复过程，其间隔的测量，可以取多个间隔数进行测量，这样可以大大减小测量误差。

如测定单摆的周期，由于周期 T 较小（1 s左右甚至不到1 s），直接测量很难测准确，一般采用测量50次或100次周期的时间，然后再求得周期 T 。显然，多次重复测量的精度要高得多。

类似的例子在超声波波长的测量、牛顿环半径的测量和迈克耳逊干涉仪测波长实验中也能看到。

3.交换测量法

在用物理天平测量质量的过程中，若将被测物体放在左盘，砝码放在右盘，测得质量为 m ₁ ，两盘交换测量，测得质量为 m ₂ ，则被测物体的质量为 ，这样就可以消除因物理天平的左右横梁不等长所带来的误差（上述公式自己证明）。

在自主电桥实验中，除比较臂电阻 R ₀ 采用精度较高的电阻箱外，比率臂的电阻 R ₁ 和 R ₂ 只要使用普通电阻，由于采用交换测量，并不要求知道它们的准确值，只要 R ₁ 和 R ₂ 在测量时保持阻值不变，就可以获得准确度较高的被测电阻 。

4.对称测量法

分光仪在左右两个对称的位置设置读数窗口进行读数，可以消除主刻度盘和游标盘因转动中心不重合而带来的系统误差。在拉伸法测金属丝的杨氏弹性模量实验中，要记录加减载荷时标尺上的读数并将对应的数据取平均，这也体现了类似的思想。

总结一下，在你做过的实验中，还有哪些减小误差、提高测量精度的方法和手段？ 2UdQ7eMTrktoV4Lo25UtGHt26v4DxRvIINr5y4UAMPY8Mcj71LbLD10Uli/IRWtK