物理实验最新章节_金雪尘著

第四节

实验数据处理的基本方法

前几节我们从测量误差的概念出发，讨论了测量结果的最佳值和误差的估算，我们进行科学实验的目的是为了找出事物的规律，或检验理论的正确性，或准备作为以后实验工作的一个依据。因此，对实验测量收集的大量数据资料必须进行正确处理。数据处理是指从获得数据起到得出结论为止的加工过程，包括记录、整理、计算、作图、分析等方面的处理。本节主要介绍常用的列表法、图示法、图解法、逐差法等数据处理方法。

一、列表法

在记录和处理数据时，将数据排列成表格形式，既有条不紊，又简明醒目；既有利于表示出物理量之间的对应关系，也有助于检验和发现实验中的问题。列表记录、处理数据是一种良好的科学工作习惯。对初学者来说，要设计出一个项目清楚、行列分明的表格需要经过不断训练、反复比较、多次修改才能实现。

数据在列表处理时，应遵循下列原则：

（1）表的上方应有表头，写明所列表格的名称、主要测量仪器及规格、有关环境参数等。

（2）各项目（纵或横）均应标明名称和单位，若名称用自定义符号，均需加以说明。

（3）栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算的顺序，力求简明、齐全、有条理。

（4）列入表中的数据主要应是原始数据，处理过程中的一些重要的中间结果也应列入表1-4-1中。

表1-4-1 测量一个圆柱体样品的密度

二、图示法

作图可以把一系列数据之间的关系直观地表现出来，实验图线不仅能简明、形象地显示物理量之间的关系，找出对应的经验公式和求得某些结果。作图法有多次测量取平均的效果，并易于发现测量中的错误。

作图的基本规则：

1.选用合适的坐标纸

一般用直角坐标纸，必要时可用对数坐标纸、极坐标纸等。坐标纸的大小就根据所测数据的有效数字和对测量结果的要求来确定，原则上应使坐标纸的最小格对应测量值中可靠数字的最后一位。作图区应占图纸的一半以上。

2.定坐标轴与坐标标度

通常以横坐标表示自变量、纵坐标表示因变量。坐标应与图纸上画的线条密切重合，但坐标轴不一定取图纸所印表格的边线，坐标轴的标度值不一定从零开始。应标出坐标轴的方向，并在坐标轴的末端标明物理量的符号和单位。

3.标点与画线

根据测量数据，用端正的“+”或“☉”等符号来表示各点的坐标位置，数据点应在符号的中心。在一张图纸上作多条曲线时，不同的数据应使用不同的符号来表示数据点，并在图中适当位置说明不同符号的不同意义。

画线一定要用直尺或曲线板等作图工具，根据不同情况，数据点连成直线或光滑的曲线，不通过图线的数据点应均匀地分布在图线的两侧，且尽量靠近图线，如图1-4-1所示。

图1-4-1 在同一坐标纸上画不同图纸

对于仪器仪表的校正曲线，连接时应将相邻的两点连成直线，整个校正曲线呈折线形式，如图1-4-2所示。

图1-4-2 电表的校正曲线

4.图注

在图纸的明显处写出图线的名称、测试条件、作者姓名、日期等。

三、图解法

根据已经作好的图线，应用解析的方法，求出对应的函数关系和有关参量，这种方法称为图解法。当实验图线是直线时，采用此法就更为方便。

1.直线图解法——确定直线方程

（1）取点

用图示法根据实验数据作直线，在已经确定的直线上任取两点 A （ x ₁ ， y ₁ ）， B （ x ₂ ， y ₂ ），其坐标值最好是整数值。若用实验数据描出的点用“+”表示，则用符号“☉”表示所取的点，与实验点相区别。所取 A 、 B 两点在实验范围内应尽量彼此分开一些，以减小误差，但一般不要取原实验点。

（2）求斜率 k

在坐标纸的适当空白的位置，由直线方程，写出斜率的计算公式

将两点坐标值代入式（1-4-1），写出计算结果。

（3）求截距 b

截距可由式

求出，由此可得到直线方程。

例已知电阻丝的阻值 R 与温度间的关系为

其中 R ₀ ， α 是常数。现有一电阻丝，其阻值随温度变化如表1-4-2所示。请用作图法作 R - t 直线，并求 R ₀ 、 R ₀ _α 值。

表1-4-2 阻值随温度变化表

解：由表1-4-2可知

即温度 t 的变化范围为34.5℃，而电阻值的变化范围为3.61Ω。根据坐标纸大小的选择原则，既要反映有效数字又能包括所有实验点，选40格×40格的图纸。取自变量 t 为横坐标，起点为10℃，每一小格为1℃；因变量 R 为纵坐标，起点为28Ω，每一小格为0.1Ω。描点连线作图，得 R - t 直线，如图1-4-3所示。

图1-4-3 电阻值与温度关系曲线

在直线上取两点（19.0，28.40），（43.0，30.90），则

故有

2.曲线的改直

在实际工作中，许多物理量之间的函数关系并非都为线性，而是各种形式的函数关系，如果这种非线性的函数关系可以经过适当变换后成为线性关系，即把曲线变为直线，这种方法叫作曲线改直。现举下列三个例子说明。

（1） PV ＝ C ， C 为常数。

由作图得到直线，斜率即为 C 。

（2）为常数。

两边除以 t ，得。

作图为直线，其斜率为，截距为 v ₀ 。

（3） y ＝ ax ^b ，其中 a 、 b 为常数。

两边取对数，得lg y ＝lg a + b lg x 。

以lg x 为横坐标、lg y 为纵坐标作图得一直线，截距为lg a ，斜率为 b 。

四、逐差法

逐差法是物理实验中常用的数据处理方法之一，特别是当自变量与因变量之间呈线性关系、而自变量为等距变化时，用逐差法处理更具有独特的优点。

例如：在测量弹簧劲度系数的实验中，先记下弹簧端点在标尺上的读数 x ₀ ，然后依次加上10 N、20 N、30 N、…、70 N的力，则可读出七个标尺的读数，它们分别为 x ₁ 、 x ₂ 、 x ₃ 、…、 x ₇ ，其相应的弹簧长度变化为 Δ x ₁ ＝ x ₁ - x ₀ 、 Δ x ₂ ＝ x ₂ - x ₁ 、…、 Δ x ₇ ＝ x ₇ - x ₆ ，根据平均值的定义：

中间数值全部抵消，未能起到平均的作用，只用了始末两次测量值，与力 F 一次增加70 N的单次测量等价。由此可见，不能用此办法进行平均值的处理。

为了保持多次测量的优越性，通常把数据分成两组，一组是 x ₀ 、 x ₁ 、 x ₂ 、 x ₃ ，另一组是 x ₄ 、 x ₅ 、 x ₆ 、 x ₇ ，求出对应项的差值 Δ x ₁ ＝ x ₄ - x ₀ 、 Δ x ₂ ＝ x ₅ - x ₁ 、…、 Δ x ₄ ＝ x ₇ - x ₃ ，则平均值为

这种方法称为逐差法，它具有充分利用数据、减小误差的优点，采用逐差法将保持多次测量的优越性。

五、最小二乘法

用作图法处理数据虽有许多优点，但它是一种粗略的数据处理方法。不同的人，用同一组数据作图，由于在拟合直线（或曲线）时，有一定的主观随意性，因而拟合出的直线（或曲线）往往是不一样的，由一组实验数据找出一条最佳的拟合直线（或曲线），更严格的方法是最小二乘法。由最小二乘法所得的变量之间的函数关系称为最小二乘法。最小二乘法拟合亦称为最小二乘法回归。在本课程中，我们只讨论用最小二乘法进行一元线性拟合。

1.求一元线性回归方程

最小二乘法线性拟合的原理是：若能找到一条最佳的拟合直线，那么该拟合直线上的各点的值与相应的测量值之差的平方和，在所有的拟合直线中应该最小。

假设两个物理量之间满足线性关系，其函数形式可写为 y ＝ a + bx ，其图线是一条直线。测得一组数据 x _i 、 y _i （ i ＝1，2，3，…， n ），为了讨论的方便，可认为 x _i 的值是准确的，而所有的误差都只与 y _i sub> 联系着。那么每一次的测量值 y _i 与按方程（ y ＝ a + bx _i ）计算出的 y 值之间的偏差为