1.4 常见二次曲面简介

学习目标

认识常见的二次曲面的方程及图形。

主要知识

所有用二次方程表示的曲面都称为 二次曲面，最一般形式的二次曲面方程 为

Ax ² ＋ By ² ＋ Cz ² ＋ Dxy ＋ Eyz ＋ Fxz ＋ Gx ＋ Hy ＋ Iz ＋ J ＝0

A ， B ，…， J 为常数。

1．球面

方程

（ x － a ） ² ＋（ y － b ） ² ＋（ x － c ） ² ＝ R ²

表示球心在点 M ₀ （ a ， b ， c ），半径为 R 的球面，如图1－16所示。

2．椭球面

方程

表示中心在原点的椭球面，其中 a ， b ， c 称为椭球面的半轴，如图1－17所示。

想一想

+ + =1（a>0,b>0,c>0）表示什么曲面？

3．二次柱面

已知动直线 L 以及不与 L 同平面的定曲线 C ，动直线 L 沿定曲线 C 平行移动所形成的曲面称为 柱面， 其中动直线 L 称为柱面的 母线， 定曲线 C 称为柱面的 准线。

如图1－18所示，准线 C 在 xOy 面内，母线 L 平行于 z 轴的柱面方程为

F （ x ， y ）＝0（不含 z 项）。

类似有方程 F （ y ， z ）＝0（不含 x 项）表示准线 C 在 yOz 面内，母线 L 平行于 x 轴的柱面；方程 F （ x ， z ）＝0表示准线 C 在 xOz 面内，母线 L 平行于 y 轴的柱面。

例1 在空间直角坐标系中，确定下列方程表示的曲面类型，并画出曲面。

（1） ＋ ＝1；

（2） － ＝1；

（3） z ＝ x ² 。

解（1）以 xOy 平面内的椭圆为准线，母线 L 平行于 z 轴的椭圆柱面，如图1－19所示。

当 a ＝ b 时为圆柱面，其方程： x ² ＋ y ² ＝ a ² 。

（2）以 xOy 平面内的双曲线为准线，母线 L 平行于 z 轴的双曲柱面，如图1－20所示。

（3）以 xOz 平面内的抛物线为准线，母线 L 平行于 y 轴的抛物柱面，如图1－21所示。

4．以坐标轴为旋转轴的旋转曲面

平面曲线 C 绕该平面内的定直线 L 旋转一周所形成的曲面，称为 旋转曲面。 曲线 C 称为旋转曲面的 母线， 定直线 L 称为旋转曲面的 旋转轴。

下面列出坐标面内曲线 C 绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程，见表1－3所示。

例2 求 yOz 面内的抛物线 z ＝3 y ² 绕 z 轴旋转所得旋转曲面的方程。

解 在方程 z ＝3 y ² 中，使 z 保持不变，将 y 换成± ，得旋转曲面方程为

z ＝3（ x ² ＋ y ² ）。

该曲面称为 旋转抛物面， 如图1－22所示。

例3 求 xOy 面内的椭圆 ＋ ＝1绕 x 轴旋转所得旋转曲面的方程。

解 在方程 ＋ ＝1中，使 x 不变，将 y 换成± ，得旋转曲面方程为

即

该曲面称为 旋转椭球面， 如图1－23所示。

例4 指出下列方程表示的是何种曲面？

（1） z ＝9 ；

（2）9 x ² ＋4 y ² ＋4 z ² ＝36。

解（1）这是由 xOz 平面中射线 z ＝9 或 yOz 中射线 z ＝9 绕 z 轴旋转而成的圆锥面，在 xOy 平面的上方部分。

（2）该方程可化为

这是由 xOy 平面中椭圆 ＋ ＝1或 xOz 平面中椭圆 ＋ ＝1绕 x 轴旋转而成的椭球面。

练习与思考1．4

在球面 x ² ＋ y ² ＋ z ² －2 x ＝0的内部点是（ ）。

A．（2，0，0）

B．（0，2，0）

C．（ ， ， ）

D ．（－ ， ， ）

习题1．4

在空间直角坐标系中，指出下列方程表示的曲面类型。

（1） x ² － y ² ＝0；

（2） x ² ＋ y ² ＝1；

（3） x ² ＋ y ² ＝（ z － a ） ² ；

（4） z ＝ ；

（5） x ² －4 y ² + z ² ＝1 ；

（6） x ² ＋ － ＝0。

小结与复习

内容提要

1．空间直角坐标系

两点 M ₁ （ x ₁ ， y ₁ ， z ₁ ）， M ₂ （ x ₂ ， y ₂ ， z ₂ ）间的距离为

2．向量的基本概念及运算公式

（1）向量的基本概念．以 M ₁ （ x ₁ ， y ₁ ， z ₁ ）为起点， M ₂ （ x ₂ ， y ₂ ， z ₂ ）为终点的向量 的坐标表示

设向量 ＝｛ a _x ， a _y ， a _z ｝，则向量 的模为 ＝ 。

与 同方向的单位向量

向量 的方向余弦

（2）向量的主要运算．设向量 ＝｛ a _x ， a _y ， a _z ｝， ＝｛ b _x ， b _y ， b _z ｝。

与 的数量积 · ＝ cos（ ）＝ a _x b _x ＋ a _y b _y ＋ a _z b _z ，

与 的向量积

（3）向量间的位置关系（ ， 不为零向量）。

⊥ · ＝0 a _x b _x ＋ a _y b _y ＋ a _z b _z ＝0。

∥ ＝ λ ＝ ＝ 。

3．空间平面的方程

（1）点法式方程 A （ x － x ₀ ）＋ B （ y － y ₀ ）＋ C （ z － z ₀ ）＝0。

（2）一般式方程 Ax ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝0。

其中， ＝｛ A ， B ， C ｝为平面的法向量。

（3）空间两平面间的位置关系。

设平面 Π ₁ ， Π ₂ 的法向量分别为 ＝｛ A ₁ ， B ₁ ， C ₁ ｝， ＝｛ A ₂ ， B ₂ ， C ₂ ｝，则

Π ₁ ∥ Π ₂ ∥ ＝ ＝ 。

Π ₁ ⊥ Π ₂ ⊥ · ＝0 A ₁ A ₂ ＋ B ₁ B ₂ ＋ C ₁ C ₂ ＝0。

Π ₁ 与 Π ₂ 夹角 θ 的余弦 。

4．空间直线的方程

（1）点向式方程

其中， ＝｛ m ， n ， p ｝是直线的一个方向向量。

（2）一般式方程

直线的方向向量为 ＝ × ＝ 。

（3）空间两直线间的位置关系。

两直线 L ₁ 与 L ₂ 的方向向量分别为 ＝｛ m ₁ ， n ₁ ， p ₁ ｝， ＝｛ m ₂ ， n ₂ ， p ₂ ｝，则

L ₁ 与 L ₂ 的夹角 θ

（4）空间直线与平面的位置关系。

直线 L 的方向向量 ＝｛ l ， m ， n ｝，平面 Π 的法向量 ＝｛ A ， B ， C ｝。

直线 L 与平面 Π 的夹角 θ

学法建议

1．明确区分空间点的坐标与向量的坐标表示。

2．主要是用向量的坐标进行向量的运算，重点在于向量的数量积 · 和向量积 × ，它们在确定平面或直线的方程以及研究平面、直线间的位置关系过程中起着十分重要的作用。

3．在空间直角坐标系中，无论是平面还是直线，它们的方程都是线性的，即所有的变量都只以一次方的形式出现．不要混淆平面直角坐标系中的直线方程与空间坐标系中的平面方程，认清空间平面方程与直线方程的区别。

求平面方程、直线方程的基本方法分别是点法式、点向式，所以在已知一定点 M ₀ 的条件下，确定平面的法向量 或直线的方向向量 是关键，向量积常常是解决问题的有效工具，建议根据几何条件通过数形结合（画草图）的方法，将所要求的法向量 或方向向量 与题设中的已知向量联系．另外，求平面（或直线）方程的方法往往不止一种，读者可灵活运用已给的条件，选择一种比较简单的方法。

4＊．常见的二次曲面中，记住特殊柱面（母线平行于坐标轴的柱面）以及特殊旋转曲面（曲线在坐标面中，绕坐标轴旋转而成的旋转曲面）的特征，根据特征区分曲面类型。

复习题1

1．单项选择题：

（1）点 A （5，3，1）关于 x 轴的对称点是（ ）。

A．（－5，－3，－1）

B．（5，3，－1）

C．（5－，3，－1）

D．（－5，3，1）

（2）下列向量中为单位向量的是（ ）。

A． ＋ ＋

B．

C．

D．

（3）下列各组角中，可作为向量方向角的是（ ）。

A．－ ，－ ，

B． ， ，

C． ， ，

D． ， ，

（4）设向量 ＝｛－1，1，2｝， ＝｛2，0，1｝，则有（ ）。

A．（ ）＝

B．（ ）＝

C． ∥

D． ⊥

（5）同时垂直于 Oz 轴与向量 ＝｛1，1，2｝的单位向量是（ ）。

A．（1，－1，0）

B．

C ．

D．

（6）已知向量 ， 的模分别为 =2, ，且 ，则 =（）。

A．

B．

C．

D．1

（7 ）设直线 ＝ ＝ λ （ z ＋2）与平面－3 x ＋9 y ＋ z －10＝0 垂直，则 m ， λ 的值是（ ）。

A． m ＝1， λ ＝

B． m ＝－1， λ ＝

C． m ＝－1， λ ＝3

D． m ＝－1， λ ＝－3

（8）已知三平面的方程分别为 Π ₁ ： x －5 y ＋2 z ＋1＝0， Π ₂ ：3 x －2 y ＋3 z ＋8＝0， Π ₃ ：4 x ＋2 y ＋3 z －9＝0，则必有（ ）。

A． Π ₁ 与 Π ₂ 平行

B． Π ₁ 与 Π ₃ 垂直

C． Π ₂ 与 Π ₃ 垂直

D． Π ₂ 与 Π ₃ 平行

（9 ）直线 ＝ ＝ 与平面 x － y － z ＋1＝0的位置关系是（）。

A．垂直

B．相交但不垂直

C．平行

D．直线在平面上

（10）柱面 y ＝ z ² 的母线平行于（ ）。

A． x 轴

B． y 轴

C． z 轴

D． yOz 平面

2．填空题：

（1）点 A （2,-1,2）到z轴的距离为_________。

（2）已知点 A 的坐标为（0,1,1）， ={2,3,-3}，则点 B 的坐标为_________。

（3）已知 α , β , γ 为某一向量的三个方向角，则sin ² α -cos ² β -cos ² γ =_________。

（4）已知向量 的模分别为 =2, = ， = ，则 =_________。

（5）若两向量 =- + + 与 =m -6 +2 平行，则 m =_________ n =_________。

（6）过点 A （2,-2,1）, B （0,0,2）的直线方程为_________。

（7）过原点且与平面x-y+2z+4=0垂直的直线方程为_________。

（8）过点（3,0,-1）且与平面3 x - y +2 z +4=0平行的平面方程为_________。

（9）过原点，且平行于向量 ={2,1,-1}及 ={3,0,4}的平面方程为_________。

（10）双曲线 绕 z 轴旋转而成的曲面方程为_________。

3．已知点 A （1，2，3）， B （0，0，1）， C （3，1，0），求以 AB ， AC 为邻边的平行四边形的面积。

4．设 ＝3 － ， ＝ －2 ，其中 ， 为互相垂直的单位向量，求 · 及 。

5．求过点 M （1，2－1）且与直线 平行的直线方程。

6．一直线过点 M （3，－2，7 ），且与平面 x － y ＋2 z －3＝0平行，又与直线 ＝ ＝ 垂直，求其方程。

7．求通过 z 轴且过点 A （1，－1，1）的平面方程。

8．求通过点 M （1，2，1）且同时垂直于两平面 x ＋ y ＝0和5 y ＋ z ＝0的平面方程。 nwCdtr7YrIac6KdK35A8xOn67fTuBDqSEmaekKX19/LAOmD+FjO4R+gcwMZ6TSjP