1.3 平面与直线

学习目标

1．会根据简单的几何条件求平面的点法式方程，了解平面的一般式方程。

2．会根据简单的几何条件求空间直线的点向式方程，了解空间直线的一般式方程。

3．会判断空间平面、直线之间的位置关系。

引入问题

在平面解析几何中，通过建立平面直角坐标系，把平面中曲线（包括直线）看作动点的轨迹，从而得出直线、曲线相应的方程．在空间直角坐标系中，同样利用动点轨迹的概念，那么平面、直线有何种方程形式呢？

一、空间平面方程

1．平面方程

定义1－4 若非零向量 与平面 П 垂直，则称 为平面 П 的 法向量 。

显然，一平面的法向量有无数个且相互平行。

由立体几何知识可知，过空间一定点 P ₀ 且垂直于一个非零向量 有且只有一个平面 П （如图1－14）。

下面推导过一个定点 P ₀ （ x ₀ ， y ₀ ， z ₀ ），且以 ＝｛ A ， B ， C ｝为法向量的平面 П 的方程。

设 P （ x ， y ， z ）为平面 П 上的任意动点（如图1－14）．由于向量

一定在平面 П 上，因此， ⊥ ．于是

即

这就是过点 P ₀ （ x ₀ ， y ₀ ， z ₀ ）且法向量为 ＝｛ A ， B ， C ｝的 平面的点法式方程 。

将公式（1－6）式展开，得

Ax ＋ By ＋ Cz ＋（－ Ax ₀ － By ₀ － Cz ₀ ）＝0，

令 D ＝－ Ax ₀ － By ₀ － Cz ₀ ，则有

式（1－7）称为 平面的一般式方程 ，其中｛ A ， B ， C ｝为该平面的一个法向量。

由公式（1－6），（1－7）可知，任何平面的方程是三元一次方程，且三元一次方程与平面之间有一一对应关系。

例1 求过点（2，4，－1）且垂直于向量 ＝｛2，3，4｝的平面方程。

解 向量 ＝｛2，3，4｝为所求平面的一个法向量，由公式（1－6）得所求平面的方程为

2（ x －2）＋3（ y －4）＋4（ z ＋1）＝0，（点法式）

即

2 x ＋3 y ＋4 z －12＝0．（一般式）

例2 求过点（1，－1，2）且平行于平面3 x － y ＋2 z ＋6＝0的平面方程。

解 因为所求平面平行于平面3 x － y ＋2 z ＋6＝0，所以法向量为 ＝｛3，－1，2｝，由式（1－6）得所求平面的方程为

3（ x －1）－（ y ＋1）＋2（ z －2）＝0，（点法式）

即

3 x － y ＋2 z －8＝0．（一般式）

例3 求过点（1，1，1）且垂直于两平面 x －2 y ＋ z ＝0， y ＝0的平面方程。

解 两个平面的法向量分别为 ＝｛1，－2，1｝， ＝｛0，1，0｝，因为所求平面与这两个平面垂直，所以法向量为

由式（1－6）得所求平面的点法式方程为

－（ x －1）＋0（ y －1）＋（ z －1）＝0，

即

x － z ＝0。

根据平面的一般式方程（1－7）的系数可以判断平面的一些特殊情形：

（1）当 D ＝0时，平面方程为 Ax ＋ By ＋ Cz ＝0，它表示过原点的一个平面。

（2）当 A ＝0时，平面方程为 By ＋ Cz ＋ D ＝0，法向量 ＝｛0， B ， C ｝垂直于 x 轴，平面平行于 x 轴（当 D ＝0时，平面过 x 轴）。

当 B ＝0时，平面方程为 Ax ＋ Cz ＋ D ＝0，法向量 ＝｛ A ，0， C ｝垂直于 y 轴，平面平行于 y 轴（当 D ＝0时，平面过 y 轴）。

当 C ＝0时，平面方程为 Ax ＋ By ＋ D ＝0，法向量 ＝｛ A ， B ，0｝垂直于 z 轴，平面平行于 z 轴（当 D ＝0时，平面过 z 轴）。

（3）当 B ＝ C ＝0时，平面方程为 Ax ＋ D ＝0，法向量 ＝｛ A ，0，0｝垂直于 y 轴和 z 轴，平面平行于 yOz 平面（当 D ＝0时，与 yOz 面重合）。

当 A ＝ C ＝0时，平面方程为 By ＋ D ＝0，法向量 ＝｛0， B ，0｝垂直于 x 轴和 z 轴，平面平行于 xOz 平面（当 D ＝0时，与 xOz 面重合）。

当 A ＝ B ＝0时，平面方程为 Cz ＋ D ＝0，法向量 ＝｛0，0， C ｝垂直于 x 轴和 y 轴，平面平行于 xOy 平面（当 D ＝0时，与 xOy 面重合）。

例4 求经过 z 轴，且过点 M （1，2，－1）的平面方程。

解法一 在 z 轴上任取两点，如 A （0，0，1）， B （0，0，2），根据题意，则 A ， B ， M 三点必在所求的平面上， ＝｛0，0，1｝， ＝｛1，2，－2｝，法向量可取为

则所求平面方程为

－2（ x －0）＋1（ y －0）＋0（ z －1）＝0，

即

2 x － y ＝0。

解法二 因为平面过 z 轴，故设平面的一般方程为

Ax ＋ By ＝0，

将点 M （1，2，－1）代入平面方程可得

A ＋2 B ＝0，

解得 A ＝－2 B ，为简单起见，令 B ＝1，即得所求平面方程为2 x － y ＝0。

例5 求过三点 A （ a ，0，0）， B （0， b ，0）， C （0，0， c ）（ a ， b ， c ≠0）的平面 Π 的方程。

解 平面的法向量 ＝ × ．由于 ＝｛－ a ， b ，0｝， ＝｛－ a ，0， c ｝，故

因此，所求平面 Π 的方程为

bc （ x － a ）＋ ac （ y －0）＋ ab （ z －0）＝0，

化简，得

bcx ＋ acy ＋ abz ＝ abc ，

由于 a ， b ， c ≠0，将两边同除以 abc ，得该平面的方程为

此例中的 A ， B ， C 三点为平面与三个坐标轴的交点，我们把这三个点中的坐标分量 a ， b ， c 分别称为该平面在 x 轴， y 轴和 z 轴上的截距，称方程（1－8）为 平面的截距式方程。

2．两平面的位置关系

设平面 Π ₁ 和 Π ₂ 的方程为

Π ₁ ： A ₁ x ＋ B ₁ y ＋ C ₁ z ＋ D ₁ ＝0（ A ₁ ， B ₁ ， C ₁ 不同时为零），其法向量＝ ｛ A ₁ ， B ₁ ， C ₁ ｝。

Π ₂ ： A ₂ x ＋ B ₂ y ＋ C ₂ z ＋ D ₂ ＝0（ A ₂ ， B ₂ ， C ₂ 不同时为零），其法向量 ｛ A ₂ ， B ₂ ， C ₂ ｝。

（1 ）两平面平行 ∥ ＝ ＝ ≠ 。

（2）两平面重合 ＝ ＝ ＝ 。

（3）两平面相交 A ₁ ， B ₁ ， C ₁ 与 A ₂ ， B ₂ ， C ₂ 不成比例。

我们把两平面的法向量夹角 θ （0≤ θ ≤90°）称为 两平面的夹角。

由向量的数量积的定义，得两平面夹角 θ 的余弦为

特别地，两平面垂直 ⊥ ＝0 A ₁ A ₂ ＋ B ₁ B ₂ ＋ C ₁ C ₂ ＝0。

例6 设两平面 Π ₁ ， Π ₂ 的方程分别为 x － y ＋5＝0和 x －2 y ＋2 z －3＝0，求 Π ₁ 和 Π ₂ 的夹角 φ 。

解 由 ＝｛1，－1，0｝， ＝｛1，－2，2｝得

所以

二、空间直线方程

1．直线方程

定义1－5 若非零向量 ＝｛ m ， n ， p ｝与直线 L 平行，则称 为直线 L 的一个 方向向量。

显然，一条直线的方向向量有无数个且相互平行，直线上的任一向量都平行于该直线的方向向量。

由于过空间的一点 M ₀ （ x ₀ ， y ₀ ， z ₀ ）且与一非零向量 ＝｛ m ， n ， p ｝平行的直线是唯一确定的（如图1－15），因此，可以在空间直角坐标系中建立直线的方程。

设 M （ x ， y ， z ）是直线 L 上的任意动点，由于向量 ＝｛ x － x ₀ ， y － y ₀ ， z － z ₀ ｝必在直线 L 上，因此， ∥ ，根据向量平行的充要条件，有

式（1－9）称为 直线的点向式方程 。

例如 （1）当 m ＝0，但 n ， p 不为零时，直线的点向式方程表示为

（2）当 m ＝ p ＝0， n ≠0时，直线的点向式方程表示为

例7 求过点 A （3，－1，1）， B （2，－1，4）的直线方程。

解 取直线的方向向量为 ＝ ＝｛－1，0，3｝，则所求直线的方程为

例8 求过点 A （2，0，－1）且与平面 x ＋2 y －3 z ＋8＝0垂直的直线方程。

解 由于所求直线与已知平面垂直，故所求直线的方向向量与已知平面的法向量平行，可取 ＝｛1，2，－3｝，则所求直线的方程为

在直线的点向式方程（1－9）中令， ＝ t ，则

方程组（1－10）称为 直线的参数式方程 ，其中 t 称为 参数 。

两个相交平面的交线确定一条直线，因此，两个相交平面的联立方程组

表示一条直线，方程组（1－11）称为 直线的一般式方程， 由于两平面的法向量都垂直于交线，故该交线的方向向量可取为

例9 把直线的 L 一般式方程 化为点向式方程。

解法一 首先求直线上的一点．令 z ＝0，代入直线 L 的一般式方程中，得

求得 x ＝－1， y ＝－1，则点（－1，－1，0）在直线上。

其次，直线的方向向量可取为

因此，直线的点向式方程为

即

x ＋1＝ y ＋1＝ z 。

解法二 分别消去直线 L 的一般式方程中的 y 和 z ，得

x － z ＋1＝0 和 x － y ＝0，

即

x ＝ z －1 和 x ＝ y 。

上两式写成连等式，即为直线的点向式方程

x ＝ y ＝ z －1（也可化为 x ＋1＝ y ＋1＝ z ）。

2．两直线的位置关系

设直线 L ₁ 和 L ₂ 的方程为

L ₁ ： ＝ ＝ ，其方向向量 ＝｛ m ₁ ， n ₁ ， p ₁ ｝，

L ₂ ： ＝ ＝ ，其方向向量 ＝｛ m ₂ ， n ₂ ， p ₂ ｝。

（1）两直线平行 ∥ ＝ ＝ 。

（2）两直线的夹角——指两直线的方向向量的夹角 θ （0≤ θ ≤90°）。

由向量的数量积的定义，得两直线夹角 θ 的余弦为

特别地，两直线垂直 ⊥ m ₁ m ₂ ＋ n ₁ n ₂ ＋ p _{1 p2} ＝0。

3．直线与平面的位置关系

设直线 L 和平面 Π 的方程为

L ： ＝ ＝ ，其方向向量 ＝｛ l ， m ， n ｝，

Π ： Ax ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝0，其法向量 ＝｛ A ， B ， C ｝。

（1）直线 L 与平面 Π 垂直 ∥ ＝ B ＝ 。

（2）直线 L 与平面 Π 平行 ⊥ Al ＋ Bm ＋ Cn ＝0。

例10 求直线 L ₁ ： ＝ ＝ 与 L ₂ ： ＝ ＝ 的夹角。

解 L ₁ 和 L ₂ 的方向向量分别为 ＝｛2，1，－1｝和 ＝｛1，2，1｝．由公式得

故所求夹角为 θ ＝ 。

练习与思考1．3

1．判断下列结论是否正确：

（1）平面与平面的相互关系是由平面的法向量之间的关系所决定的。

（2）直线间的相互关系是由两直线的方向向量之间的关系所决定的。

2．判断下列面面、线线、线面之间的位置关系：

（1） x ＋2 y ＋3 z －8＝0与5 x ＋10 y ＋15 z －6＝0；

（2） x － y ＋ z ＋1＝0与2 x － y －3 z ＋5＝0；

（3） ＝ ＝ 与 ；

（4） x －3 y ＋ z －1＝0与 ＝ ＝ 。

习题1．3

1．求满足下列条件的平面方程：

（1）过点（3，1，－2），法向量为 ＝｛1，1，1｝；

（2）过点（4，－1，2）及 x 轴；

（3）求过坐标原点，法向量为 ＝｛4，－1，3｝的平面方程。

2．过三个点 P ₁ （3，－1，4）， P ₂ （2，2，5）， P ₃ （4，1，1）的平面方程。

3．已知 M （1，1，－1）和 N （1，0，2），求过点 垂直的平面方程。

4．求过点（2，0，－1）且与 xOy 面平行的平面方程。

5．求过点 M ₁ （1，2，－1）， M ₂ （2，3，1）且与平面 x － y ＋ z ＋1＝0垂直的平面方程。

6．判断下列每组中两个平面是否平行、垂直、重合或相交，对相交面求出两平面的夹角。

（1）2 x － y ＋ z －7＝0， x ＋ y ＋2 z －11＝0；

（2）2 x ＋4 y －3 z －13＝0，8 x ＋5 y ＋12 z ＋21＝0；

（3） x －2 y ＋3 z －5＝0，2 x －4 y ＋6 z ＋1＝0；

（4）3 x － y ＋2 z ＋1＝0，9 x －3 y ＋6 z ＋3＝0。

7．求过点 A （3，3，－1）及 x 轴的平面方程，同时求过点 A 且垂直于该平面的直线方程。

8．求过点（2，－1，3）且平行于直线 ＝ ＝ 的直线方程。

9．求过点 A （3，2，－1）， B （－2，3，5）的直线方程。

10．求过点（0，－3，1）与向量 ＝｛0，3，－1｝平行的直线方程。

11．求过点 M （2，－3，1）且与平面2 x ＋3 y － z －1＝0垂直的直线方程。

12．求过点（2，0，3）且与两平面 x ＋2 z ＝1和 y －3 z ＝2平行的直线方程。

13．求过点 M （1，3－，1）且与直线 平行的直线方程。

14．求直线 ＝ ＝ 与平面2 x ＋3 y ＋3 z －8＝0的交点坐标。

15．将直线方程 化为点向式方程与参数式方程。 TyDNaTJzl9ST/icZ0D96WZPxXsRlCEbWwZogsKq8sPowdNfSFNr4NIrLLNxqLWNh