1.2 向量的数量积与向量积

学习目标

1．能够熟练进行向量的数量积与向量积的运算。

2．会判断两个向量是否平行、垂直。

引入问题

【 常力做功 】若一物体在常力 的作用下，由点 A 沿直线移动到点 B ，其位移 ＝ （如图1－10），则力所做的功为 W ＝ cos θ ，其中 θ 为 与 的夹角， W 是一个数量。

【 转动力矩 】用一个扳手拧紧或拧开螺丝，就会产生一个转量，即转动力矩（如图1－11），转动力矩是一个向量，其方向在转动轴上．由力学知识可知，引起物体旋转的是力 的分量 sin θ ，其垂直于 方向，若记转动力矩为 ，则其大小即为 的模

力矩 的方向： ⊥ ， ⊥ ，且 ， ， 构成右手系，即当右手的四指从 以小于π的角度转向 时，大拇指所指的方向就是力矩 的方向。

上述两个案例中，前者是由两个向量决定一个数量的运算，后者是由两个向量决定一个新的向量的运算．向量的这两种乘积，在其他领域中也会遇到．数学上把这两类运算抽象为向量的数量积与向量积。

主要知识

一、向量的数量积

1．数量积的定义及性质

定义1－2 设两个向量 ， ，夹角为（ ），则称数 cos（ ）为向量 与 的 数量积 （或点积），记作 · ，即

由数量积的定义，上述案例中做功问题可表示为

数量积有以下性质 ：

（1） · ＝ ，特别地， · ＝ · ＝ · ＝1；

（2） · ＝0；

（3）交换律 · ＝ · ；

（4）结合律（ λ ）· ＝ ·（ λ ）＝ λ （ · ），其中 λ 为实数；

（5）分配律 ·（ ＋ ）＝ · ＋ · 。

由数量积的定义可知， · ＝0的充要条件是 ＝0或 ＝0或（ ）＝ ，因此，有下述定理。

定理1－1 两非零向量 与 垂直（记作 ⊥ ）的充要条件是 · ＝0。

例如， ， ， 两两相互垂直 · ＝ · ＝ · ＝0。

例1 已知（ ）＝ ， ＝3， ＝4，求向量 ＝ ＋2 的模。

解 根据数量积的定义和性质，有

所以

2．数量积的坐标表示

设向量 ＝｛ a _x ， a _y ， a _z ｝＝ a _x ＋ a _y ＋ a _z ， ＝｛ b _x ， b _y ， b _z ｝＝ b _x ＋ b _y ＋ b _z ，

则

所以

公式（1－3）称为 数量积的坐标表示式， 即两向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

由（1－3）式及向量数量积的定义还可得到两非零向量 与 夹角余弦的坐标表示式

由上式知

例2 已知三点 A （3，3，2）， B （1，2，1）， C （2，4，0），求∠ B 的大小。

解 作向量 ， ，则 与 的夹角即为∠ B 。

于是由向量夹角余弦的坐标表示式得

所以

例3 【 斜力做功 】设有一方向角分别为60°，60°，135°，大小为100N 的力 ，它使得一质点从 A （3，－1，5 ）做直线运动至点 B （－1，4，0），求力 所做的功（坐标长度单位：m）。

解 由于力的方向角分别为60°，60°，135°，所以与力 同向的单位向量为

于是

又

因此，力 所做的功为

二、两向量的向量积

1．向量积的定义及性质

定义1－3 设向量 由两个已知向量 与 按下列方式给出：

（1） 的模 ；

（2） 的方向 ⊥ ， ⊥ ，且按右手法则确定，即当四指从 转向 时，大拇指所指方向即为 的方向（如图1－12），则向量 称为向量 与 的 向量积 （或叉积），记作 × ，即 ＝ × 。

按上述定义，案例中提到的力矩 可表示为 ＝ × 。

向量积的模｜ × ｜＝ · sin（ ），在几何上表示以向量 ， 为邻边的平行四边形的面积（如图1－13）。

向量积有以下运算性质：

（1） × ＝ ；

（2）反交换律 × ＝－ × ；

（3）结合律（ λ ）× ＝ ×（ λ ）＝ λ （ × ），其中 λ 为实数；

（4）分配律 ×（ ＋ ）＝ × ＋ × 。

若 ∥ ，则（ ）＝0或π，sin（ ）＝0，因此，有下述定理。

定理1－2 两非零向量 与 平行（ ∥ ）的充要条件是 × ＝ ．由向量积的定义、运算性质，可得

2．向量积的坐标表示

设向量 ＝｛ a _x ， a _y ， a _z ｝＝ a _x ＋ a _y ＋ a _z ， ＝｛ b _x ， b _y ， b _z ｝＝ b _x ＋ b _y ＋ b _z ，则

所以

公式（1－5）称为 向量积的坐标表示式 。

为便于记忆，利用§2．2中三阶行列式的展开式，将式（1－5）用行列式表示为

例4 已知向量 ＝ －2 ＋ ， ＝－3 ＋ ， ＝2 ＋4 －3 ，计算：

（1）（3 ）·（4 ）；

（2）3 ×4 ；

（3）（ ＋ ）×（ ＋ ）。

解

（1）由向量的数量积公式和性质，得

（2）由向量的向量积公式和性质，得

（3）由向量的和差运算法则，得

＋ ＝｛1，－2，1｝＋｛0，－3，1｝＝｛1，－5，2｝，

＋ ＝｛0，－3，1｝＋｛2，4，－3｝＝｛2，1，－2｝。

由向量的向量积公式得

例5 求同时垂直于向量 ＝｛2，1，－1｝和 ＝｛1，－2，2｝的一个向量。

解 由向量积的定义， × 同时垂直于 与 ， × 即为满足要求的一个向量。

事实上，所有 λ （ × ）（其中 λ 为不等于零的常数）都是满足要求的向量。

例6 已知 ＝ ＋3 ， ＝ ＋3 ，求三角形 OAB 的面积。

解 由向量积的几何意义可得三角形 OAB 的面积 s ＝ 。

因为 × ＝ ＝（0 ＋ ＋0 ）－（0 ＋3 ＋3 ）＝－3 －3 ＋ ＝｛－3，－3，1｝，所以 s ＝ ｜ × ｜＝ ＝

练习与思考1．2

1．已知向量 ＝｛2，－3，1｝， ＝｛1，1，7｝， ＝｛0，1，－2｝，求：

（1） · ；

（2） × ；

（3）（ ＋ ）· ；

（4）（ ＋ ）× 。

2．设向量 ＝ － ， ＝2 －3 ＋2 ，求 × 及 × 。

3．判断下列向量中哪些是互相垂直的？哪些是互相平行的？

＝｛2，2，2｝， ＝｛－1，－1，2｝， ＝｛2，2，－4｝， ＝｛－1，1，0｝。

4．已知｜ ｜＝2，｜ ｜＝5， · ＝6，求｜ × ｜。

习题1．2

1．求平行于向量 ＝2 ＋ － ，且满足 · ＝3的向量 的坐标表达式。

2．设向量 ＝2 － ＋3 与向量 共线，且向量 的模为 ，求向量 。

3．已知向量 ＝｛1，－1，－2｝， ＝｛－1，－2，－1｝，求 与 的夹角。

4．已知三点 A （－1，2，3）， B （1，1，1）， C （0，0，5），求∠ ABC 。

5．向量 位于 xOy 平面之中，向量 与 平行．它们的长度分别为｜ ｜＝3，｜ ｜＝2，求｜ × ｜。

6．求以 A （1，2，3）， B （3，4，5）和 C （2，4，7）为顶点的△ ABC 的面积。

7．已知向量 ＝｛2，1，－1｝， ＝｛1，－2，1｝，平行四边形以 ， 为边，试求该平行四边形的面积。

8．求与 ＋ ＋ 和2 ＋ 都垂直的两个单位向量。

9．【 杠杆力矩 】已知力 ＝2 － ＋3 作用于杠杆上一点 P （3，1，－1）处，求此力关于杠杆上另一点 Q （1，－2，1）的力矩。 0FpGkgKpJQUu2nd4cT8WTlDnjNA4T28yBXwy/dFjRBjmbQJ1dD6xMyfrk3pPdVPw