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1.1 空间直角坐标系及向量的基本概念

学习目标

1.理解空间直角坐标系的概念。

2.会用空间两点间的距离公式计算两点间的距离。

3.了解向量的概念,会求向量的模、单位向量、向量的方向余弦等。

引入问题

定位问题 】一学生进入教学楼大门后向西走5 m,通过电梯到2楼,每层楼高约4 m,再向北走10 m,那么如何表示学生所在的位置?

主要知识

一、空间直角坐标系和向量的概念

1.空间直角坐标系

在空间任取一点 O ,过点 O 作三条两两互相垂直且具有相同单位长度的数轴,分别称为 x 轴(横轴)、 y 轴(纵轴)、 z 轴(竖轴),统称为 坐标轴; 三轴的交点 O 称为 原点 ;任意两条坐标轴所确定的平面称为 坐标面 ,即 xOy yOz zOx 三个坐标面。

建立空间直角坐标系时,习惯上常把 x 轴、 y 轴置于水平面上,而 z 轴置于铅垂线上,各轴正向及顺序遵循右手法则,即用右手握住 z 轴,右手的四指从 x 轴正向以 的角度转向 y 轴的正向时,大拇指的指向是 z 轴的正向,如图1-1所示。

图1-1

三个坐标面又将空间分成八个部分,各部分依次称为第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ卦限,如图1-2所示,坐标面是卦限的界面,不属于任何卦限。

图1-2

设点 M 为空间的一点,过点 M 分别作与三条坐标轴垂直的平面,交点分别为 P Q R (如图1-3),这三点在坐标轴上的坐标依次为 x y z ,则空间的点 M 唯一确定了一个三元有序数组( x y z ).显然,空间的点 M 与有序数组( x y z )之间建立了一一对应关系。

图1-3

空间直角坐标系中八个卦限上点的坐标特征列表如下(见表1-1):

表1-1

空间直角坐标系中坐标轴、坐标面上点的坐标特征列表如下(见表1-2):

表1-2

本节的引入问题就可通过建立空间直角坐标系来解决.若以教学楼大门为原点,向西方向为 x 轴正向,向上方向为 z 轴正向,根据右手法则,向南方向为 y 轴正向,则学生所在位置可表示为(5,-10,4)(单位:m)。

2.空间两点间的距离

如图1-4所示,设 M 1 x 1 y 1 z 1 )、 M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 )为空间两点,过点M 1 、M 2 分别作垂直于三条坐标轴的六个平面,它们围成一个以 M 1 M 2 为对角线的长方体,其长、宽、高三条棱的长度分别为:

图1-4

x 2 x 1 |,| y 2 y 1 |,| z 2 z 1 |。

根据几何知识,长方体的对角线的平方等于三条棱长的平方和,即

M 1 M 2 2 =| x 2 x 1 2 +| y 2 y 1 2 +| z 2 z 1 2

于是

公式(1-1)称为 空间两点间的距离公式。 它是平面上两点间距离公式的推广。

特别地,点 M x y z )与原点 O 的距离公式为

例1 求点 M x y z )到三条坐标轴的距离。

设点 M x 轴上的投影为点 P (如图1-3),则点 P 的坐标为 P x ,0,0),根据三垂线定理可知 MP x 轴,即线段 MP 的长度就是 M x 轴的距离,由公式(1-1),得

同理可得,点 M y 轴、 z 轴的距离分别为

例2 已知点 A (7,-1,12), B (1,7,-12),在 z 轴上求一点 C ,使得∠ ACB 为直角。

由题意设点 C 的坐标为(0,0, z ),由公式(1-1),得

要使得∠ ACB 为直角,必有| AC 2 +| BC 2 =| AB 2 ,即

[50+( z -12) 2 ]+[50+( z +12) 2 ]=26 2

解得

z =±12。

所求点 C 为(0,0,12)或(0,0,-12)。

例3 设点 P x 轴上,它到点 P 1 (0, ,3)的距离为到点 P 2 (0,1,-1)的距离的两倍,求点 P 的坐标。

设点 P 的坐标为( x ,0,0),依题意有

PP 1 |=2| PP 2 |,

将上式两边平方,解得

故所求的点 P 为(-1,0,0)或(1,0,0)。

3.向量的基本概念

在力学、物理学中,常常遇到两种类型的量,一种是如时间、温度、长度、质量、功等,只有大小,用一个实数就完全可以表示的量,这种量叫作 数量(标量); 另一种是如力、速度、位移、电场强度等既有大小又有方向的量,这种既有大小又有方向的量叫作 向量(矢量)。

向量通常用黑体小写字母 a b c 等表示,手写时可用标上箭头的小写字母表示,如 等.几何上,常用有向线段表示向量,起点为 A 、终点为 B 的向量记作

需要说明的是,为避免读者书写错误,本章用标上箭头的字母表示向量。

向量的长度称为向量的 ,用 等表示。

模等于0的向量,称为零向量,记作 .零向量的方向可以看作任意的。

模等于1的向量称为 单位向量 .与非零向量 同向的单位向量记作 ,且有

如果两个向量 的模相等且方向相同,则称向量 相等的向量, 记作 .根据这个规定,一个向量经过平行移动后能完全重合的向量是相等的向量.如果两个向量的模相等而方向相反,这时称其中一个向量是另一个向量的 负向量 ,例如,向量 的负向量记为- ,由负向量的定义可知-(- )=

注意

向量只有相等与不相等之分,没有大小关系之别,即“大于”或“小于”的概念对向量不适用。如 > , =3没有意义,但 > , =3有意义。

二、向量的线性运算及其坐标表示

1.向量的线性运算

(1)向量的加法.两个向量 的和仍是向量,记作

仿照物理学中力的合成可得向量和的 平行四边形法则 ,如图1-5所示.由于向量可以平移,所以若把 的起点平移到 的终点上,则以 的起点为起点,以 的终点为终点的向量即为 ,这种表示向量和的方法称为向量加法的 三角形法则 ,如图1-6所示。

图1-5

图1-6

向量的加法满足如下运算规律:

① 交换律:

② 结合律:( )+ +( )。

(2)向量的减法.向量的减法是加法的逆运算.若 ,即 +(- )= ,根据向量加法的三角形法则,可得向量减法的作图方法(如图1-7)。

图1-7

(3)向量的数乘.设 λ 是一个数,向量 与数 λ 的乘积记为一个向量,记作 λ ,规定:

①当 λ >0时, λ 同向, λ

②当 λ =0时, λ

③当 λ <0时, λ 反向,

向量的数乘满足如下运算规律:

λ μ 是两个实数, 是一个向量,则有

①结合律: λ μ )= μ λ )=( λμ );

②分配律:( λ μ λ μ

向量的加(减)法运算及数乘运算统称为向量的 线性运算。

2.向量的坐标表示

(1)向量 的坐标表示.在空间直角坐标系中,沿 x 轴、 y 轴、 z 轴正向分别取单位向量,称为 基本单位向量 ,分别记作

设向量 的起点为 M 1 x 1 y 1 z 1 ),终点为 M 2 x 2 y 2 z 2 )(如图1-8).根据向量的数乘运算及向量相等的定义,得

图1-8

由向量的加法,得

因此,向量 可以由其在 x y z 轴的分向量( x 2 x 1 ,( y 2 y 1 ,( z 2 z 1 表示.由于向量 与有序数组 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 存在一一对应关系,故可用它来表示向量 ,记作

上式称为 向量 的坐标表示式。 向量 在三条坐标轴上的投影 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 称为 向量 的坐标。

特别地,以原点 O 为起点、 M a x a y a z )为终点的 向量 (如图1-9)的坐标表示式为

图1-9

注意

向量的坐标表示式不能与点的坐标混淆。例如 ={1,-2,0}表示向量,A(1,-2,0)则表示点A.

例4 一向量的坐标为{4,-4,7},它的终点在点 P (2,-1,7),求这个向量的起点 M 的坐标。

设向量的起点 M 的坐标为( x y z ),则有

4=2- x ,-4=-1- y ,7=7- z

即得 x =-2, y =3, z =0,故起点 M 的坐标为(-2,3,0)。

(2)向量的模及方向余弦的坐标表示.任一非零向量 ={ a x a y a z }都可将其看作以原点 O 为起点, M a x a y a z )为终点的向量 ,即 .由空间两点间的距离公式,可知向量 ={ a x a y a z }的模

非零向量 ={ a x a y a z }的方向可以分别用向量 x 轴、 y 轴、 z 轴正向的夹角来确定(如图1-9)。

定义1-1 非零向量 x 轴、 y 轴、 z 轴正向的夹角称为 方向角 ,分别记作 α β γ (其中0≤ α ≤π,0≤ β ≤π,0≤ γ ≤π),方向角的余弦称为非零向量 方向余弦。

由图1-9可知,非零向量 ={ a x a y a z }的方向余弦的坐标表示式为

显然,方向余弦满足以下关系式

cos 2 α +cos 2 β +cos 2 γ =1。

与非零向量 同方向的单位向量的坐标表示为

(3)向量线性运算的坐标表示.利用向量的坐标表示,可以将向量的线性运算转化为坐标间的代数运算。

设向量 ={ a x a y a z }, ={ b x b y b z },则有

={ a x b x a y b y a z b z };

={ a x b x a y b y a z b z };

λ ={ λ a x λ a y λ a z }( λ 为实数);

(若 b x b y b z 中某一个为零,相应的分子也为零)。

例5 求点A(4,0,1),B(3, ,2)所确定的向量 的坐标、模、方向余弦和方向角及与 同方向的单位向量

向量的坐标 ={ x y z }={3-4, -0,2-1}={-1, 1}。

向量 的模

向量 的方向余弦cos α = =- ,方向角为 α = π,

单位向量

例6 设向量 的方向角 α β γ 为锐角,且 =2,求向量 的坐标表示式。

因为cos 2 α +cos 2 β +cos 2 γ =1,

α β γ 为锐角,

于是有

cos γ (cos γ =- 不合题意,舍去),

所以

练习与思考1.1

1.写出点 M (-1,2,3)关于原点、三个坐标轴、三个坐标平面的对称点的坐标。

2.在 P (1,-5,2), Q (1,2,-1), R (1,0,3)中,哪一个点在 xOz 平面之中?哪一个点距离 xOy 平面最近?

3.设 α β γ 是向量 的三个方向角,则sin 2 α +sin 2 β +sin 2 γ 为多少?

习题1.1

1.在 x 轴上求与两点 P 1 (-4,1,7)和 P 2 (3,5-2)等距离的点。

2.求证以 M 1 (4,3,1), M 2 (7,1,2), M 3 (5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。

3.求点 P (3,-1,2)到原点及三个坐标轴的距离。

4.在 yOz 平面上,求与 A (3,1,2), B (4,-2,-2), C (0,5,1)等距离的点。

5.已知 A (-2,3,5), B (1,-1, z ), =13,求点 B 的未知坐标。

6.求向量 ={2,-5, }的模、方向余弦及与 同方向的单位向量。

7.【 平衡合力 】已知力 ={1,1,3}, ={2,-3,1}作用于同一点,问如何使力才能与 的合力达到平衡?

8.已知 ={3,2,5}, ={2,4,3}, ,求向量 的方向余弦及与 平行的单位向量。

9.已知两点 M 1 (1,- ,5), M 2 (2,0,4),求向量 的模、方向余弦、方向角及与 同方向的单位向量 0

10.设向量 与各坐标轴成相等的锐角, ,求向量 的坐标表示式。

11.设向量 的方向角 α π, β γ 为锐角,且 =4,求向量 的坐标表示式。 PHuB9+4cY3DliOk3djF768+M5b5HJxtco748hkFa3Ns4lCiWgk36dbLBBAIk727O

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