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1．理解空间直角坐标系的概念。
2．会用空间两点间的距离公式计算两点间的距离。
3．了解向量的概念，会求向量的模、单位向量、向量的方向余弦等。
【 定位问题 】一学生进入教学楼大门后向西走5 m，通过电梯到2楼，每层楼高约4 m，再向北走10 m，那么如何表示学生所在的位置？
在空间任取一点 O ，过点 O 作三条两两互相垂直且具有相同单位长度的数轴，分别称为 x 轴（横轴）、 y 轴（纵轴）、 z 轴（竖轴），统称为 坐标轴； 三轴的交点 O 称为 原点 ；任意两条坐标轴所确定的平面称为 坐标面 ，即 xOy ， yOz ， zOx 三个坐标面。
建立空间直角坐标系时，习惯上常把
x
轴、
y
轴置于水平面上，而
z
轴置于铅垂线上，各轴正向及顺序遵循右手法则，即用右手握住
z
轴，右手的四指从
x
轴正向以
的角度转向
y
轴的正向时，大拇指的指向是
z
轴的正向，如图1－1所示。
图1－1
三个坐标面又将空间分成八个部分，各部分依次称为第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限，如图1－2所示，坐标面是卦限的界面，不属于任何卦限。
图1－2
设点 M 为空间的一点，过点 M 分别作与三条坐标轴垂直的平面，交点分别为 P ， Q ， R （如图1－3），这三点在坐标轴上的坐标依次为 x ， y ， z ，则空间的点 M 唯一确定了一个三元有序数组（ x ， y ， z ）．显然，空间的点 M 与有序数组（ x ， y ， z ）之间建立了一一对应关系。
图1－3
空间直角坐标系中八个卦限上点的坐标特征列表如下（见表1－1）：
表1－1
空间直角坐标系中坐标轴、坐标面上点的坐标特征列表如下（见表1－2）：
表1－2
本节的引入问题就可通过建立空间直角坐标系来解决．若以教学楼大门为原点，向西方向为 x 轴正向，向上方向为 z 轴正向，根据右手法则，向南方向为 y 轴正向，则学生所在位置可表示为（5，－10，4）（单位：m）。
如图1－4所示，设 M 1 （ x 1 ， y 1 ， z 1 ）、 M 2 （x 2 ，y 2 ，z 2 ）为空间两点，过点M 1 、M 2 分别作垂直于三条坐标轴的六个平面，它们围成一个以 M 1 M 2 为对角线的长方体，其长、宽、高三条棱的长度分别为：
图1－4
｜ x 2 － x 1 ｜，｜ y 2 － y 1 ｜，｜ z 2 － z 1 ｜。
根据几何知识，长方体的对角线的平方等于三条棱长的平方和，即
｜ M 1 M 2 ｜ 2 ＝｜ x 2 － x 1 ｜ 2 ＋｜ y 2 － y 1 ｜ 2 ＋｜ z 2 － z 1 ｜ 2 ，
于是
公式（1－1）称为 空间两点间的距离公式。 它是平面上两点间距离公式的推广。
特别地，点 M （ x ， y ， z ）与原点 O 的距离公式为
例1 求点 M （ x ， y ， z ）到三条坐标轴的距离。
解 设点 M 在 x 轴上的投影为点 P （如图1－3），则点 P 的坐标为 P （ x ，0，0），根据三垂线定理可知 MP ⊥ x 轴，即线段 MP 的长度就是 M 到 x 轴的距离，由公式（1－1），得
同理可得，点 M 到 y 轴、 z 轴的距离分别为
例2 已知点 A （7，－1，12）， B （1，7，－12），在 z 轴上求一点 C ，使得∠ ACB 为直角。
解 由题意设点 C 的坐标为（0，0， z ），由公式（1－1），得
要使得∠ ACB 为直角，必有｜ AC ｜ 2 ＋｜ BC ｜ 2 ＝｜ AB ｜ 2 ，即
［50＋（ z －12） 2 ］＋［50＋（ z ＋12） 2 ］＝26 2 ，
解得
z ＝±12。
所求点 C 为（0，0，12）或（0，0，－12）。
例3
设点
P
在
x
轴上，它到点
P
1
（0，
，3）的距离为到点
P
2
（0，1，－1）的距离的两倍，求点
P
的坐标。
解 设点 P 的坐标为（ x ，0，0），依题意有
｜ PP 1 ｜＝2｜ PP 2 ｜，
即
将上式两边平方，解得
故所求的点 P 为（－1，0，0）或（1，0，0）。
在力学、物理学中，常常遇到两种类型的量，一种是如时间、温度、长度、质量、功等，只有大小，用一个实数就完全可以表示的量，这种量叫作 数量（标量）； 另一种是如力、速度、位移、电场强度等既有大小又有方向的量，这种既有大小又有方向的量叫作 向量（矢量）。
向量通常用黑体小写字母
a
，
b
，
c
等表示，手写时可用标上箭头的小写字母表示，如
，
等．几何上，常用有向线段表示向量，起点为
A
、终点为
B
的向量记作
需要说明的是，为避免读者书写错误，本章用标上箭头的字母表示向量。
向量的长度称为向量的
模
，用
或
等表示。
模等于0的向量，称为零向量，记作
．零向量的方向可以看作任意的。
模等于1的向量称为
单位向量
．与非零向量
同向的单位向量记作
，且有
如果两个向量
和
的模相等且方向相同，则称向量
和
是
相等的向量，
记作
＝
．根据这个规定，一个向量经过平行移动后能完全重合的向量是相等的向量．如果两个向量的模相等而方向相反，这时称其中一个向量是另一个向量的
负向量
，例如，向量
的负向量记为－
，由负向量的定义可知－（－
）＝
。
注意
向量只有相等与不相等之分，没有大小关系之别，即“大于”或“小于”的概念对向量不适用。如
>
,
=3没有意义，但
>
,
=3有意义。
（1）向量的加法．两个向量
，
的和仍是向量，记作
＋
＝
。
仿照物理学中力的合成可得向量和的
平行四边形法则
，如图1－5所示．由于向量可以平移，所以若把
的起点平移到
的终点上，则以
的起点为起点，以
的终点为终点的向量即为
＋
，这种表示向量和的方法称为向量加法的
三角形法则
，如图1－6所示。
图1－5
图1－6
向量的加法满足如下运算规律：
① 交换律：
＋
＝
＋
；
② 结合律：（
＋
）＋
＝
＋（
＋
）。
（2）向量的减法．向量的减法是加法的逆运算．若
－
＝
，即
＋（－
）＝
，根据向量加法的三角形法则，可得向量减法的作图方法（如图1－7）。
图1－7
（3）向量的数乘．设
λ
是一个数，向量
与数
λ
的乘积记为一个向量，记作
λ
，规定：
①当
λ
＞0时，
λ
与
同向，
＝
λ
；
②当
λ
＝0时，
λ
＝
；
③当
λ
＜0时，
λ
与
反向，
＝
。
向量的数乘满足如下运算规律：
设
λ
，
μ
是两个实数，
是一个向量，则有
①结合律：
λ
（
μ
）＝
μ
（
λ
）＝（
λμ
）；
②分配律：（
λ
＋
μ
）
＝
λ
＋
μ
。
向量的加（减）法运算及数乘运算统称为向量的 线性运算。
（1）向量
的坐标表示．在空间直角坐标系中，沿
x
轴、
y
轴、
z
轴正向分别取单位向量，称为
基本单位向量
，分别记作
，
，
。
设向量
的起点为
M
1
（
x
1
，
y
1
，
z
1
），终点为
M
2
（
x
2
，
y
2
，
z
2
）（如图1－8）．根据向量的数乘运算及向量相等的定义，得
图1－8
由向量的加法，得
因此，向量
可以由其在
x
，
y
，
z
轴的分向量（
x
2
－
x
1
）
，（
y
2
－
y
1
）
，（
z
2
－
z
1
）
表示．由于向量
与有序数组
x
2
－
x
1
，
y
2
－
y
1
，
z
2
－
z
1
存在一一对应关系，故可用它来表示向量
，记作
上式称为
向量
的坐标表示式。
向量
在三条坐标轴上的投影
x
2
－
x
1
，
y
2
－
y
1
，
z
2
－
z
1
称为
向量
的坐标。
特别地，以原点
O
为起点、
M
（
a
x
，
a
y
，
a
z
）为终点的
向量
（如图1－9）的坐标表示式为
图1－9
注意
向量的坐标表示式不能与点的坐标混淆。例如
={1,-2,0}表示向量，A（1,-2,0）则表示点A.
例4 一向量的坐标为｛4，－4，7｝，它的终点在点 P （2，－1，7），求这个向量的起点 M 的坐标。
解 设向量的起点 M 的坐标为（ x ， y ， z ），则有
4＝2－ x ，－4＝－1－ y ，7＝7－ z ，
即得 x ＝－2， y ＝3， z ＝0，故起点 M 的坐标为（－2，3，0）。
（2）向量的模及方向余弦的坐标表示．任一非零向量
＝｛
a
x
，
a
y
，
a
z
｝都可将其看作以原点
O
为起点，
M
（
a
x
，
a
y
，
a
z
）为终点的向量
，即
＝
．由空间两点间的距离公式，可知向量
＝｛
a
x
，
a
y
，
a
z
｝的模
非零向量
＝｛
a
x
，
a
y
，
a
z
｝的方向可以分别用向量
与
x
轴、
y
轴、
z
轴正向的夹角来确定（如图1－9）。
定义1－1
非零向量
与
x
轴、
y
轴、
z
轴正向的夹角称为
方向角
，分别记作
α
，
β
，
γ
（其中0≤
α
≤π，0≤
β
≤π，0≤
γ
≤π），方向角的余弦称为非零向量
的
方向余弦。
由图1－9可知，非零向量
＝｛
a
x
，
a
y
，
a
z
｝的方向余弦的坐标表示式为
显然，方向余弦满足以下关系式
cos 2 α ＋cos 2 β ＋cos 2 γ ＝1。
与非零向量
同方向的单位向量的坐标表示为
（3）向量线性运算的坐标表示．利用向量的坐标表示，可以将向量的线性运算转化为坐标间的代数运算。
设向量
＝｛
a
x
，
a
y
，
a
z
｝，
＝｛
b
x
，
b
y
，
b
z
｝，则有
①
＋
＝｛
a
x
＋
b
x
，
a
y
＋
b
y
，
a
z
＋
b
z
｝；
②
－
＝｛
a
x
－
b
x
，
a
y
－
b
y
，
a
z
－
b
z
｝；
③
λ
＝｛
λ
a
x
，
λ
a
y
，
λ
a
z
｝（
λ
为实数）；
④
∥
＝
＝
（若
b
x
，
b
y
，
b
z
中某一个为零，相应的分子也为零）。
例5
求点A（4,0,1）,B（3,
,2）所确定的向量
的坐标、模、方向余弦和方向角及与
同方向的单位向量
解
向量的坐标
＝｛
x
，
y
，
z
｝＝｛3－4，
－0，2－1｝＝｛－1，
，
1｝。
向量
的模
向量
的方向余弦cos
α
=
=-
，方向角为
α
=
π，
单位向量
或
例6
设向量
的方向角
α
＝
，
β
＝
，
γ
为锐角，且
＝2，求向量
的坐标表示式。
解 因为cos 2 α +cos 2 β +cos 2 γ =1，
且
α
＝
，
β
＝
，
γ
为锐角，
于是有
cos
γ
＝
（cos
γ
＝－
不合题意，舍去），
所以
1．写出点 M （－1，2，3）关于原点、三个坐标轴、三个坐标平面的对称点的坐标。
2．在 P （1，－5，2）， Q （1，2，－1）， R （1，0，3）中，哪一个点在 xOz 平面之中？哪一个点距离 xOy 平面最近？
3．设
α
，
β
，
γ
是向量
的三个方向角，则sin
2
α
＋sin
2
β
＋sin
2
γ
为多少？
1．在 x 轴上求与两点 P 1 （－4，1，7）和 P 2 （3，5－2）等距离的点。
2．求证以 M 1 （4，3，1）， M 2 （7，1，2）， M 3 （5，2，3）三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
3．求点 P （3，－1，2）到原点及三个坐标轴的距离。
4．在 yOz 平面上，求与 A （3，1，2）， B （4，－2，－2）， C （0，5，1）等距离的点。
5．已知
A
（－2，3，5），
B
（1，－1，
z
），
＝13，求点
B
的未知坐标。
6．求向量
＝｛2，－5，
｝的模、方向余弦及与
同方向的单位向量。
7．【
平衡合力
】已知力
＝｛1，1，3｝，
＝｛2，－3，1｝作用于同一点，问如何使力才能与
和
的合力达到平衡？
8．已知
＝｛3，2，5｝，
＝｛2，4，3｝，
＝
－
，求向量
的方向余弦及与
平行的单位向量。
9．已知两点
M
1
（1，－
，5），
M
2
（2，0，4），求向量
的模、方向余弦、方向角及与
同方向的单位向量
0
。
10．设向量
与各坐标轴成相等的锐角，
＝
，求向量
的坐标表示式。
11．设向量
的方向角
α
＝
π，
β
＝
，
γ
为锐角，且
＝4，求向量
的坐标表示式。