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在定点DSP芯片中，采用定点数进行数值运算，其操作数一般采用整型数来表示。一个整型数的最大表示范围取决于DSP芯片所给定的字长，Blackfin DSP的字长为16位。显然，字长越长，所能表示的数的范围越大，精度也越高。本章将以 16 位字长为例进行介绍。
定点DSP芯片的操作数以2的补码形式表示。每个16位数用一个符号位来表示数的正负（0表示数值为正，1则表示数值为负），其余15位表示数值的大小。因此，有
二进制数0010000000000011b＝8195
二进制数1111111111111100b＝– 4
对于定点DSP芯片而言，参与数值运算的数就是16位的整型数。但在许多情况下，数学运算过程中的数不一定都是整数。那么，如何让定点DSP芯片处理小数呢？这其中的关键就是由程序员来确定一个数的“小数点”处于16位中的哪一位，这就是数的定标。
通过设定“小数点”在16位数中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小数了。数的定标通常采用的是Q表示法。表3-1列出了一个16位有符号数的16种Q表示、精度及它们所能表示的十进制数值范围。必须指出的是，这里所说的“小数点”是一个隐式的小数点，对定点 DSP 芯片而言，参与运算的就是 16 位的整型数，并不存在真正意义上的小数点。
表3-1 Q表示、精度及十进制数值范围
一个16位有符号数，最左边的一位是符号位，其余15位包括整数位和小数位。对于Q表示法而言，Q后面的数表示该数的小数点右边有几位，如Q15表示该数的小数点右边有15位，即有15位小数，没有整数位；Q10表示该数的小数点右边有10位，即有10位小数和5位整数位。
从表3-1可以看出，同样一个16位数，若小数点设定的位置不同，它所表示的数也就不同。
例如：
十六进制数2000H＝8192，用Q0表示；
十六进制数2000H＝0.25，用Q15表示。
但对于定点DSP芯片来说，处理方法是完全相同的。
从表3-1还可以看出，不同的Q所表示的数不仅范围不同，而且精度也不相同。Q越大，表示的数值范围越小，但精度越高（量化步长越小）；相反，Q 越小，表示的数值范围越大，但精度就越低（量化步长越大）。不同Q值所对应的正最大值、负最大值和量化步长表示如下。
正最大值：
负最大值：
精度：
例如，Q0的数值范围是– 32768～＋32767，其精度为1；而Q15的数值范围为–1～0.9999695，精度为 1/32768 = 0.00003051。显然，对定点数而言，数值表示范围与精度是一对矛盾，一个变量要想能够表示比较大的数值范围，必须以牺牲精度为代价；而要想精度提高，则数的表示范围就相应地减小。在实际的定点算法中，为了达到最佳的性能，必须充分考虑到这一点。
除了上述的Q 表示法外，也可以直接用小数点左右的位数来表示，如1.15 表示该数的小数点左边有1位，而小数点右边有15位。
1．浮点数与定点数之间的转换
浮点数与定点数的转换关系简介如下：
浮点数(x)转换为定点数( x q )
定点数( x q )转换为浮点数(x)：
例如，浮点数x=0.6，定标Q＝15，则定点数
，式中的
表示下取整。反之，一个用 Q＝15 表示的定点数 19660，转换为浮点数是 19660×2
-
15
＝19660/32768=0.599975585，显然，用定点数来表示0.6这个数存在一定的误差。
为了最大限度地保持数的精度，在将浮点数转换为定点数时，可以采取“四舍五入”的方法，即在取整运算前，先加上0.5。
浮点数(x)转换为定点数( x q )：
同样，对于0.6这个数，采用上述方法转换得到的定点数将为
， 其浮点数为
，显然其精度得到了提高。
2．定点二进制数转换为十进制数
对于一个给定Q值的二进制数，确定该数的等值十进制数大小有以下两种方法。
1）先求整型数，然后利用式（3-2）进行计算
首先将该数视为一个整型数，计算该整型数的等值十进制数值，然后利用式（3-2）求该数。例如，设一个Q=15的二进制有符号数为0100110011001100，由于左边第一位是符号位且为0，所以它是一个正数，则其对应的十进制整型数值为
因此，该数的等值十进制数为
2）根据Q值，确定小数点位置，然后进行计算
根据Q值确定小数点的位置，然后以小数点为中心，依次向左向右得到每一位的权值大小，具体如下：
依次向左，各位的权值大小分别为2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，…符号位除外；
依次向右，各位的权值大小分别为2 -1 ，2 -2 ，2 -3 ，2 -4 ，…。
仍以二进制有符号数0100110011001100为例，若Q=15，则该数相当于0.100110011001100，即隐含的小数点在符号位之后。由于该数的符号位为0，所以它是一个正数，其等值十进制数大小为
同样的二进制有符号数，若Q=14，则该数相当于01.00110011001100，其等值十进制数大小为
需要注意的是，如果一个二进制数是负数，则首先应将它转换为无符号的二进制格式，然后利用上述方法进行计算。
由于定点数的表示范围是一定的，所以在进行定点数的加法、减法、移位等操作时，其结果就有可能出现超过数值表示范围的情况，这种现象称为溢出。在进行定点运算时，必须考虑溢出的处理方法。因为如果忽视溢出情况，就有可能导致灾难性的后果。
例如，设有两个16位有符号数x和y相加，结果也用16位有符号数表示，则
显然，x与y相加的结果应该是32769，但由于已经超过了表示范围，所以在不采取溢出保护措施的情况下，其结果变成了–32767。
为了避免这种情况的发生，一般在DSP芯片中可以设置溢出保护功能。设置溢出保护功能后，当发生溢出时，DSP芯片自动将结果饱和设置为正最大值或负最大值。如果设置了溢出保护功能，则上述加法的结果为+32767，从而避免发生从+32769 变到–32767 的灾难性后果。
对于Blackfin DSP，根据寄存器字长的不同，其溢出保护值也不同。对于16位寄存器，其正最大值为 0X7FFF，负最大值为0X8000；对于32位寄存器，其正最大值为 0X7FFF FFFF，负最大值为0X8000 0000；对于40位寄存器，其正最大值为 0X7F FFFF FFFF，负最大值为0X80 0000 0000。
例如，对于一个包含 0X1000（+4096）的 16 位寄存器，如果不设置溢出保护，则左移3位后得到的值是0X8000（- 32768）；如果设置了溢出保护，则左移3位后得到的是16位的最大正值0X7FFF（+32767）。
在BlackfinDSP中，可通过指令来设置是否进行溢出保护。例如：
当一个字长小的数放到一个字长大的累加器中进行运算时，必须注意数的符号问题。先来看下面的一个例子。
一个用4位表示的数x，设x为1011，即为十进制数-5，如果将它直接放到一个已经清0的8位字长累加器的低4位（符号不扩展），则得到00001011，显然它表示+11，不是- 5。如果在装载时进行符号扩展，即将累加器的高四位根据所存放数据的符号进行填充，则得到11111011，该数表示的数值为正确数- 5。
在DSP芯片中进行二进制补码的运算时，通常参与运算的数为16位，而DSP累加器为 32 位，因此，为了使运算能够得到正确的结果，需要把数的符号位扩展到累加器左边的高位。这就是DSP芯片中的符号扩展模式。
在Blackfin DSP中，可通过指令来设置是否进行符号扩展。例如：
下面以取整运算来说明舍入（rounding）及截尾（truncating）的概念。
对一个数x进行取整处理，一般有以下两种处理方法：
（1）直接将小数部分去除，这就是截尾处理方法，也称下取整；
（2）将该数加 0.5，之后再将小数部分去除，这就是舍入处理方法，即通常所说的四舍五入。这种处理方法也称上取整；
【例3.1】 已知x=123.3，y=123.7，试分别对x、y进行舍入和截尾处理。
对x进行舍入：round(x)=round(123.3)=trunc(123.3+0.5)=123；
对x进行截尾：trunc(x)=trunc(123.3)=123；
对y进行舍入：round(y)=round(123.7)=trunc(123.7+0.5)=124；
对y进行截尾：trunc(y)=trunc(123.7)=123。
从上述的例子可以看出，由于数 x 的小数部分为 0.3，所以采用舍入运算后得到的结果与截尾运算结果相同。而数 y 的小数部分为 0.7，则采用舍入运算后得到的结果与截尾运算结果不同，数值精度要高一些。
对于DSP芯片的乘法运算，常需要用到舍入处理方法。下面举例予以说明。
设两个Q值均为15的16位有符号数x和y进行乘法运算，结果也采用Q15表示的16位数。这里将一般的运算过程描述如下。
（1）x与y相乘，结果放在32位累加器中。由于x与y的Q值均为15，所以，此时累加器中的结果为32位，Q值为30。
（2）将累加器的数左移一位，此时累加器中数的Q值变为31。
（3）为了将结果表示为16位，一种方法是直接将低16位截尾，保留高16位，作为乘法结果；另一种方法就是在截尾之前进行舍入处理，即在低16位数的最高位加1（相当于加32768），然后将低16位去除，将高16位作为乘法结果。
显然，进行舍入运算后，能够最大程度地保持16位结果的精度。