1.5.1 点集

定义：设X是非空集合，对于X中任意的两个元素x和y，按照某一法则都对应唯一的实数d（x，y），且满足

（1）非负性：d（x，y） ^≥ 0；d（x，y）=0 当且仅当x=y；

（2）对称性：d（x，y）= d（y，x）；

（3）三角不等式：对于任意的x，y，z∈X，恒有d（x，y） ^≤ d（x，z）+d（y，z）

则称d（x，y）为x，y的距离，并称X是以d为距离的距离空间，记作（X，d），X中的元素称为点。

一维、二维和三维欧氏空间是我们最熟悉的距离空间，以三维空间为例，两点 和 的距离被定义为

虽然后面的讨论不限于欧氏空间中的点集，但欧氏空间可以给我们提供直观的想象。

定义：设（X，d）是距离空间，称X中的点的集合

（1） B _r （x ₀ ） =B（x ₀ ，r ）： ={x| x ∈ X，d（ x，x ₀ ）< r}

为以x ₀ 为中心，以r为半径的开球，也称为x ₀ 的r邻域；

（2） =

为以x ₀ 为中心，以r为半径的闭球；

（3）S _r （x ₀ ） =S（x ₀ ，r ）： ={x| x ∈ X，d（ x，x ₀ ）= r}

为以x ₀ 为中心，以r为半径的球面。

定义：设A是空间中某一点集

若∃r > 0，使得B _r （ x ）⊂ A，则称x为A的内点；

若∃r > 0，使得B _r （ x） ∩A = ∅，则称x为A的外点；

若∃r > 0，使得B _r （ x ）∩ A= {x}，则称x为A的孤立点；

若∀r >0，使得B _r （ x） ∩A ≠ ∅，则称x为A的接触点；

若∀r >0，使得B _r （x）∩ {A\{x }}≠ ∅，则称x为A的聚点，也称极限点；

1 若∀r >0，使得B _r （ x） ∩A ≠ ∅且B _r （ x） ∩A ^c ≠ ∅ ，则称x为A的边界点；

称集合A的内点的全体为集合A的内部，记作A ^o ；

称集合A的接触点的全体为集合A的闭包，记作 A ；

称集合A的聚点的全体为集合A的导集，记作A′；

称集合A的边界点的全体为集合A的边界，记作∂A。

【例 1-5】

内点集合为（0，1），聚点集合为[0，1]∪{5}， 是孤立点。

1.5.2 开集、闭集和波雷尔集

若点集A中的点都是内点，则称A为开集。因此，对于开集A有A=A ^o ；若A等于A的闭包，则称点集A为闭集，也可定义闭集为开集的余集；以开集和闭集为对象，做至多可列次或交或并的运算得到的集合称为波雷尔（Borel）集。

1.5.3 测度

很多物理量和数学量都具有可加性，如两袋面粉总的质量等于这两袋面粉各自质量的和；两条线段连接在一起构成的线段的长度等于这两条线段各自长度的和。类似的性质在二维面积和三维体积中也存在。把这个概念推而广之，赋予一般的集合以类似的度量，就得到了测度的概念。

定义：测度是在一个给定集合Ω的某个子集类 上定义的一个满足可列可加性的非负的集合函数μ（A）， ，即若 是 中两两不相交的集合，且 ，则有

可见，测度就是一种集合函数，以集合类 为定义域，以可列可加性为其根本特性。点集作为一种集合，对其测度的定义一直是数学家们孜孜以求试图解决的问题。历史上，Hankel、Cantor、Jordan和Lebesgue都曾提出过针对点集的测度的定义方式，其中，应用最为广泛的是Lebesgue的测度定义。这里不对其做深入解释，有兴趣的读者可以参阅有关测度论或实分析的书籍。需要说明的是包括Lebesgue测度在内的所有测度定义方式都不能对所有点集满足可列可加性。C.Caratheodory针对Lebesgue测度给出了一个条件，把R ⁿ 中的点集分为Lebesgue可测集和不可测集。 wiNJOI1Df4RYS0+z6xTeyBuHUZ94Mrm18XaavvCaPJgutq5xaiqiufxrR4xC0Hod