设r.v. X的概率密度函数为 ，定义X的特征函数为

可见特征函数 是概率密度函数 的傅里叶变换，或者理解为特征函数 是函数 的数学期望。特征函数具有如下一些性质：

（1）若Y=aX+b，则

（2）设r.v. Y是n个独立的r.v. X ₁ ，X ₂ ，X ₃ ，…，X _n 之和，即 ，则有

式中⊗表示“卷积”运算，由此可见，对于独立随机变量的和，概率密度函数对应卷积，而特征函数则对应乘积。

（3）特征函数与分布函数一一对应。

定理 2-3：若 ，且X ₁ 和X ₂ 独立，Y=X ₁ +X ₂ ，则

证明：首先服从标准正态分布N（0，1）的r.v. X的特征函数为

其次，考查X ₁ 和X ₂ 的特征函数，因为 ，由特征函数的性质（1）可得

同理

再根据性质（2）可得

由此可见， 。 9TUJ9YCuEbejisBc+Vq6Mr4Z6mr5ls0MxtN564c1Si9VgtZHHjlzy5SZgaf6Io0O