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设r.v. X的概率密度函数为
，定义X的特征函数为
可见特征函数
是概率密度函数
的傅里叶变换，或者理解为特征函数
是函数
的数学期望。特征函数具有如下一些性质：
（1）若Y=aX+b，则
（2）设r.v. Y是n个独立的r.v. X
1
，X
2
，X
3
，…，X
n
之和，即
，则有
式中⊗表示“卷积”运算，由此可见，对于独立随机变量的和，概率密度函数对应卷积，而特征函数则对应乘积。
（3）特征函数与分布函数一一对应。
定理 2-3：若
，且X
1
和X
2
独立，Y=X
1
+X
2
，则
证明：首先服从标准正态分布N（0，1）的r.v. X的特征函数为
其次，考查X
1
和X
2
的特征函数，因为
，由特征函数的性质（1）可得
同理
再根据性质（2）可得
由此可见，
。