2.2 左手介质中的反向波及内向波

2.2.1 左手介质的反向波特性

在均匀、各向同性介质中传播的平面波电磁波

由Maxwell方程有：

式（2.12）表明，对于通常右手介质，ε＞0，μ＞0，电场E、磁场H和波矢量k之间满足右手螺旋关系；而对于ε＜0，μ＜0的左手介质，电场E、磁场H和波矢量k之间满足左手螺旋关系。

无耗介质中代表电磁波功率流动的坡印亭矢量为：

E，H和S之间始终满足右手螺旋关系。由此可见，在左手介质中，坡印亭矢量S和波矢量k的方向相反。图2.2给出了左、右手介质中E、H、k、S四者的关系。

色散介质中电磁能量传播的速度矢量可用群速度v _g ＝∂ω/∂k表示。

式中，v _p ＝ω/k为相速度。而对于左手介质

由此可得

即群速度v _g 与相速度v _p 的方向相反。也就是说，左手介质中波包的传播与波相位面的传播方向相反。这一特性称为反向波特性或后向波特性，而左手介质也有时被称为后向波介质（Backward-Wave Materials，BWMs）。

2.2.2 左手介质中的内向波 ^［6］

在通常介质中辐射源激励起的电磁波的等相位面由波源向外扩散，称为外向波。而在左手介质材料中，由于能量和相位传播方向相反，辐射场表现为相位不断向波源汇聚的内向波。本节基于远场辐射边界条件和对辐射功率的分析，论证这一特性。

在电磁场理论中，无界区域远场问题的边界条件（又称为Sommerfeld辐射条件）可表示为如下阻抗边界条件形式：

对于通常右手介质，介电常数ε和磁导率μ均大于零。在满足辐射边界条件下，介质中有限大小源激励的远场，具有向外传播的球面波形式（这里取时谐振因子为exp（－iωt））

左手介质（如Rods/SRRs）的介电常数和磁导率具有如下形式

其中，Γ _e ，Γ _m 为损耗因子。下面讨论在Sommerfeld辐射条件式（2.15）限制下左手介质中的远场波形式。图2.3为无损耗时ε _r 和μ _r 的色散曲线，可以看到当ω＜ω _p 时，ε _r 小于零；当ω ₀ ＜ω＜＝ω _mp 时，μ _r 小于零，（其中ω _mp = ）。调整介质结构，能使ε _r 和μ _r 在一定频段内同时小于零。图中三条εr曲线分别为ω _p ＜ω ₀ ，ω ₀ ＜ω _p ＜ω _mp ，和ω _p ＞ω _mp 时的情况。显然，只有当ω _p ＞ω ₀ 时，才可能出现ε _r 和μ _r 同时为负的频段。当ω _p ＞ω _mp 时，双负频段即为μ _r 为负的频段ω ₀ ＜ω＜ω _mp 。为讨论方便，下面将仅考虑ω _p ω _mp 的情况。

在球面波形式解式（2.16）中，k＝± ，正负号的选取应保证场在无限远处是有物理意义的收敛解。设波矢k＝β＋iα，只有虚部α为正值才能保证在无穷远处是收敛的有物理意义的解。无耗左手介质k的色散曲线如图2.4所示，在ω＜ω ₀ 和ω _mp ＜ω＜ω _p 频段，k为纯虚数，电磁波为截止波，不能传播；而在ω ₀ ＜ω＜ω _mp 和ω＞ω _p 频段，k＝β有正、负两个解，分别表示辐射场的内向波和外向波。

为确定具有物理意义的收敛解，引入衰减因子Γ _e ，Γ _m 。图2.5为有耗情况下的色散曲线，与图2.4不同，在频段ω ₀ ＜ω＜ω _mp 和ω＞ω _p ，α不再为零。为保证式（2.16）的收敛性，即α为正值，在ω ₀ ＜ω＜ω _mp 频段只能取k＝－ω ，在ω＞ω _p 频段内则取k＝＋ω 。因此在频段ω ₀ ＜ω＜ω _mp 内，k＝β＜0，电磁场表现为内向波形式。

由此，论证了满足远场问题边界条件（Sommerfeld辐射条件）在左手介质中的辐射场，具有物理意义的波动解不可能是外向波形式，而只可能是内向波形式。

以下用时域有限差分方法（FDTD）数值仿真研究左手介质材料中的内向波特性。仿真采用真实的左手介质结构模型，即Smith实验中金属杆（Rods）和开口谐振环（SRRs）构建的阵列 ^［7］ ，将其搭建成一个无限长的圆柱体。Rods/SRRs单元尺寸如图2.6所示，为了减少运算量，忽略基板的影响（即将基板部分的介电常数设置为 1）。圆柱体横截面如图2.7（a）所示，图中黑色线条代表构成左手介质的Rods/SRRs，图2.7（b）是原点附近区域的放大显示。仿真时，将无限长的线电流源置于圆柱体中心激励柱面波。计算区域和边界条件如图2.8所示，在x和y方向均采用完全匹配吸收边界（Perfect Matched Layer，PML），在z方向采用周期性边界（Periodic Boudary Condition，PBC），即圆柱体在z方向是无穷长的，这样的结构既符合Pendry等人研究的无穷长金属杆的Rods模型 ^［8］ ，又可在仿真计算中在z方向只设置一个结构单元，减少了计算量。

模拟的第一步是要确定金属杆（Rods）和开口谐振环（SRRs）阵列构造的介质材料的左手频段。将宽带脉冲激励源垂直入射到一定厚度的（Rods/SRRs）阵列构造的介质平板上，分析透过平板的电磁波频谱，可确定出左手频段的范围 ^［9］ 。根据计算结果，介质的左手频段为 12.3～12.8GHz。将介质中的线电流源的工作频率设为 12.5GHz。模拟计算采用直角坐标划分网格，网格间隔Δx＝Δy＝Δz＝Δl＝0.25mm，时间间隔Δt＝3.85×10 ^－14 s。PML边界厚度为 8个网格，整个计算区域为 600×600×16个网格，圆柱体的半径为 210个网格。网格单元为方形，圆柱边缘采用阶梯近似。

模拟计算了 40 000个时间步辐射场达到稳态。图2.9是分别截取第39 900，39 950，40000时间步圆柱横截面上的电场幅度图，它们的最大时间差不超过一个周期。从图2.9可看出，在左手介质圆柱体内部，电场等相位面随着时间的推移，不断向中心缩小（内向波）；而在左手介质圆柱体外部，等相位面则向外扩大（外向波），（附光盘有内向波动态演示文件）。为更清楚地考察等相位面的移动，图2.10给出x轴上各点的相位分布关系，图中三条曲线分别表示 39900，39950，40000时间步的相位。图中的竖直虚线表示左手介质和空气的交界面。可以看到，随着时间推进，在左手介质内部，等相位面向中心移动；而在左手介质外部的自由空间中，等相位面向外移动，而在整个空间上能量是向外传播的。

模拟过程显示，源激励的辐射场需要在一定的时间步后才呈相位不断向波源汇聚的状态，这说明内向波是电磁场与左手介质相互作用最后达到的稳态。图2.9截面上的等相位面近似为圆形，即电磁波在XY平面上任意方向的传播特性基本相同，表明仿真的二维左手介质模型在该平面是各向同性的。