1.3 算术运算和逻辑运算

1.3.1 计算机中二进制数的运算方法

1．定点数加法

规则：

例1：X=0.001，Y=0.101，计算X+Y（这里以定点小数为例，最高位为符号位，以下同）

解：

X+Y = 0.110

例2：X=-0.010，Y=-0.011，计算X+Y

解：

符号位左边的位按2取模后舍弃。

2．定点数减法

规则：

的计算方法是将 的符号位和数值位取反再加1。

例1：X=0.101，Y=0.010 ，计算X-Y

解：

符号位左边的位按2取模后舍弃。

3．定点数加减法溢出处理

双符号位法采用两个符号位，如果两个符号位相同，则没有溢出；如果不同，则表示出现溢出。

例1：X=0.001，Y=0.101，计算X+Y

解：

结果中两个符号位为00，这说明计算中没有溢出。

例2：X=0.110，Y=0.101，计算X+Y

解：

结果中两个符号位为01，这说明计算中存在溢出。

也可以通过进位信号来判断，当结果的最高位和符号位的进位信号一致时（都有进位信号或都没有进位信号），则没有溢出，否则表示有溢出。

例：

符号位没有进位，而数值位有进位产生，则说明有溢出发生。

4．浮点数的运算

浮动数运算过程比定点数复杂，包括以下过程。

（1）对阶

首先计算两个数的指数差，把指数小的向指数大的对齐，并将尾数右移指数差的位数，这样两个浮点数就完成了对阶的操作。可以看出，对阶的过程可能使得指数小的浮点数失去一些有效位。如果两个浮点数阶数相差很大，大于指数小的浮点数的尾数宽度，那么对阶后那个浮点数的尾数就变成了0，即当做机器零处理了。

（2）尾数计算

对阶完成后，两个浮点数尾数就如同定点数，计算过程同定点数计算。

（3）结果格式化

尾数计算后，可能会产生溢出，此时将尾数右移，同时指数加1，如果指数加1后发生了溢出，则表示两个浮点数的运算发生了溢出。

如果尾数计算没有溢出，则尾数不断左移，同时指数减1，直到尾数为格式化数。如果这个过程中，指数小于机器能表达的最小数，则将结果置“机器零”，这种情况称为下溢。

5．BCD码及其运算

人们习惯于十进制，不习惯于二进制，而计算机只用二进制。有一个折中的方法，就是8421码。8421码使用4个二进制数来表示一位十进制数。比如，十进制的138的8421码表示为0001 0011 1000，所以这种表示方法也称为二进制编码的十进制编码，简称BCD码。这样比较容易阅读。在许多通信程序中，都采用BCD码来表示数据，这样在调试的过程中，比较容易读出其中的内容。

由于BCD码的特性，如果使用BCD码进行计算时，可能需要进行修正。如：

3+5 : 0011 + 0101 ＝ 1000 正确。

而6+7 : 0110 + 0111 ＝ 1101

这已经不在BCD码的范围内，此时需要进行修正。修正的方法是本位加6，并向高位进1。

还有一种编码是将BCD码加3作为数字表示法，称为余3码，在使用余3码进行计算时，从最高位产生的进位是真正的进位，对每4位的结果，如果是小于等于9的，则减3；如果大于9，则加3。

1.3.2 逻辑代数的基本运算和逻辑表达式的化简

逻辑代数中参与操作的只有0和1，或者称为真或假。

1．“逻辑非”运算

考虑二进制变量A，“逻辑非”运算将A转换成N O T (A)，它的作用如下：

如果A= 0，那么N O T (A) = 1；

如果A= 1，那么N O T (A) = 0。

“逻辑非”运算的表示是在变量上画一条直线，如A的逻辑非是： 。N O T函数也称为反相器，其运算称为取反。

2．“逻辑或”运算

“逻辑或”运算也称逻辑加运算，它的特点是两个或多个输入中只要有一个为1，则结果为1。它的符号有+、U、OR等

3．“逻辑与”运算

“逻辑与”运算也称为逻辑乘运算，它的特点是只有两个或者多个输入全部为1时，结果为1，否则结果为0。它的符号有×、∩、AND等。

在逻辑表达式中优先级从高到低是：“逻辑非”、“逻辑与”、“逻辑或”。

基本逻辑运算如表1-3所示。

4．与非门、或非门、异或门

与非门的表达式是： ，可以看出，与非门是当全部输入为1时，输出为0，否则为1。

或非门的表达式是： ，可以看出，或非门是当全部输入为0时，输出为1，否则为0。

异或门的表达式是： ，可以看出，异或门是当输入值不同时，输出为1，否则为0。

5．基本恒等式

1）非恒等式

对一个二进制变量进行二次N O T运算就是一个基本恒等式，其形式：

这个结果是显而易见的。

2）或恒等式

O R函数在任何一个输入为1时，其输出为1，由此可导出几个有用的恒等式。

A+ 1 = 1将1与任何数相或，其输出为1

A+ 0 =A在或门的输入加0，不会使或门输出某一特定的值

A+A=A一个变量与其自身相或的结果是同一变量

A + = 1称为互补性

3）与恒等式

与门的输入有一个为0时，其输出必为0。

6．代数定律

1）交换律

交换律允许我们以任何顺序安排变量而不改变其结果，对于两个变量A和B，可以给出：

2）结合律

结合律定义了进行运算的顺序。在或运算和与运算中，运算的分组都不会影响其结果。

由于结合律适用于或运算和与运算，我们写逻辑表达式时通常省略括号。

3）分配律

与运算和或运算的分配由下列定律来决定：

这与一般代数所用的乘法和加法的分配律相同。

这个等式可以使用真值表证明，如表1-4所示。

4）狄摩根定理

5）有用的等式

7．逻辑表达式的化简

一个复杂的逻辑表达式需要多个逻辑电路来控制，而简单的逻辑表达式则能减少逻辑电路，而且能减少复杂性带来的可能性错误，所以有必要对复杂的逻辑表达式进行化简。

逻辑化简主要是利用上面提到的各种恒等式，将复杂的元素变成简单的表达式。

例1：化简

解： 分配律

例2：化简

解： 利用 89JEYSyRGJ97yR8w5IkfjTPVQ5/jMAKvwU4GWSvC7xq25cJCptOLDYuI+VRIT7w5