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本章 3.2 节介绍了使用变分方法最小化能量泛函在一维和二维情况下分别对应的Euler方程和梯度下降流，得到最小化这一能量泛函与求解其对应的Euler方程式和梯度下降流是一致的这一重要结论。由前面的分析可知，使用变分方法计算光流，所希望的光流解是由最小化某一能量泛函所决定的，而该能量泛函往往具有以下形式
从式（3-18）可以看出，对应于光流计算的能量泛函是一个二元二维形式积分式，其对应的Euler方程式和梯度下降流将会是一个二元方程组的形式。将式（3-18）分别对光流矢量u、ν运用式（3-11）得到其对应的Euler方程组：
同理，我们对式（3-18）使用最速下降法，得到一个含有时间辅助变量τ的动态非线性偏微分方程组
当式（3-20）达到稳态时，其对应的非线性偏微分方程组同式（3-19）是一致的。即
式（3-21）称为能量泛函［式（3-18）］对应的扩散反应方程组，即把求解光流的能量泛函最小化问题转换成求解一个非线性偏微分方程组的问题。
通过观察式（2-9），可把Horn变分光流算法中的能量泛函看做由前后两部分组成，前半部分称为数据项，它主要是由常值守恒假设约束构成，如灰度守恒假设（光流基本约束方程）、梯度守恒假设等，由这些守恒假设构成的约束条件是光流计算过程中决定运动模型的主要因素。后半部分称为平滑项，它主要是反映了光流计算时的各种平滑策略，可以保证光流计算模型得到唯一解。这样可以把变分法的能量泛函用一个广义形式表达，即
在Horn方法中，其对应的数据项和平滑项分别为
应用 3.2 节讨论的光流计算能量泛函梯度下降流理论，对Horn变分光流算法中的能量泛函［式（3-22）］使用最速下降法得
将式（3-25）用矢量形式表示为
其中，w= （u，ν） T ，∇I= （I x ，I y ） T 。式（3-26）即对应的扩散反应方程的矢量形式，从根据最速下降法得到此方程的过程中不难发现，扩散反应方程也可以看做由前后两部分组成，前半部分称为扩散项，其形式由能量泛函中的平滑项决定，而后半部分称为反应项，其形式则取决于能量泛函中的数据项。这样，把对能量泛函使用最速下降法得到的反应扩散方程用一个广义的形式表示为
在Horn方法中，光流计算的反应项为
扩散项为
由此可看出，想要得到的光流解（u，ν）正是该扩散反应方程经过时间辅助变量τ演化达到稳态时的解。这样就可以使用迭代法，给定一个初始的试探值（u 0 ，ν 0 ），根据式（3-26）做迭代运算，直到（u，ν）达到稳态解为止，这时有
同样可以得到式（3-30）的矢量形式
上文所述就是Horn变分光流算法从建立能量泛函到迭代求解的一个基本思想。不难发现，式（3-29）中，其扩散项的形式为
可以看出，式（3-32）的形式与图像中线性扩散的形式一致，只不过这里是光流矢量w进行的扩散，也正是因为如此，扩散系数g=1，所以在任何地方扩散都是一样的。因此，Horn方法的全局平滑约束迫使所估计的光流平滑穿过每一区域，这样的后果就是平滑掉了目标运动物体形状的非常重要的一些信息，所以使用Horn方法计算的光流场，在光流突变或物体运动边缘会出现光流不准确或者模糊的现象。