本章 2.2 节给出了光流计算基本等式的推导过程，在处理光流计算基本公式的不适定问题时，Horn算法使用添加平滑约束项构造能量函数的基本思想求解光流。图像具有连续性、平滑性的性质，这就要求光流本身尽可能平滑，也就是在给定邻域内 应该尽可能趋近于零，这就是Horn算法提出的对光流的整体平滑约束。用公式表示为

另一方面，根据光流计算基本等式，显然要求极小化图像中的数据项，即

将式（2-7）和式（2-8）合并可以得到Horn算法的光流计算公式

式中α是平滑项系数因子，反映了对图像数据及平滑约束的可信度，它决定了上述两种误差（一种是偏离平滑性要求的误差E _Smooth ，另一种是偏离灰度守恒基本等式的误差E _Data ）之间的比例。当图像数据本身含有较大的噪声时，则原始图像数据的可信度较低，需要更多的依赖平滑性约束条件，这时α应该选取较大的值，反之，当图像数据的可信度较高时，则偏离基本等式的误差E _Data 应给以更大的重视，这时α应取较小的值。

通过添加平滑项，光流计算问题可变成求解拉格朗日（Lagrangian Multiplier）方程的最小化问题，对形如式（2-9）的变分求解问题，其解是对应Euler方程［式（2-10）］的解。

式中 ，则Euler方程[式 ]的解为

将式（2-10）中 两边同除以α ² ，由于α是一个常数，不改变式（2-10）的结果，则有

上式中，令 ，代入式（2-12）可以得到

将式（2-13）代入式（2-10），可以得到对应的Euler方程为

其中， 是拉普拉斯算子， 。实际计算时由于计算的对象是离散化的图像，因此首先需要进行离散化处理。离散化后，整体光滑性约束变为

同样，数据项光流计算基本等式离散化后有如下形式

其中， 分别为图像的像素点（i，j）处的光流值，而I _x 、I _y 、I _t 是图像中（i，j）处像素灰度值分别关于X、Y、T轴方向的偏导数（变化率），可利用下列差分公式估计点（i，j）处像素灰度沿X轴方向的偏导数：

式中 为t时刻图像中点（i，j）处的像素灰度值。类似可以求出点（i，j）处像素灰度沿Y轴、T轴方向的偏导数，即

式（2-17）～式（2-19）中，δx、δy、δt分别表示X，Y，T方向上像素宽度。一般情况下，δx=δy=1 ，并且δt=1，这样光流场的量纲为像素（Pixel）/帧。现在的问题是寻找 和 使得

将式（2-20）分别对 和 求偏导数，并令它们为零，经整理可得其对应的Euler方程

式（2-21）中， 和 是u邻域和ν邻域的平均值，可以使用下面的公式得到

对式（2-21）进行整理后可得到如下形式

由式（2-23）可以解得

即有

得到式（2-25）后，可以利用迭代的方法对 和 进行求解，用式（2-26）表示为

上式中用 代替λ，迭代公式变形为

迭代次数n与光流初始值的选取和图像的质量有关。通常假设初始光流为零，即 。一般情况下，当迭代次数n大于 32 时，计算所得的光流就已经足够精确了。 j4UdlUoDjjXLAR4l3EGzekpr88QSSGZn2t4DFI3QSRYFCdRKNf8zPDiW5/QEXsKc