第四节
平面的投影

一、平面的表示法

1. 几何元素表示法

平面在空间可以无限扩展。在投影图中表示平面，只需画出确定该平面空间位置的几何元素即可。由初等几何学可知，下列几何元素组都可以确定平面在空间的位置。

①不在同一直线上的三个点（见图1-40（a））；

②一直线和该直线外一点（见图1-40（b））；

③相交两直线（见图1-40（c））；

④平行两直线（见图1-40（d））；

⑤任意平面图形，如三角形、平行四边形、圆形等（见图1-40（e））。

图1-40是用各组几何元素所表示的同一平面的投影图。以上5种表示平面的方法可以相互转换，如连接图1-40（a）中的ab、a´ b´，就转换为图1-40（b），再作cd // ab，c´d´ // a´b´，可转换成图1-40（c）。从图中可以看出，不在同一直线上的三个点是决定平面位置的最基本的几何元素组。

2．各类平面的投影特性

根据平面在三投影面体系中相对投影面的位置可分为三类：

（1）投影面的垂直面；

（2）投影面的平行面；

（3）投影面的倾斜面。

各类平面在三投影面体系中的位置决定了它们各自具有不同的投影特性。现分述如下：

（1）投影面的垂直面。垂直于一个投影面而与其他两个投影面成倾斜的平面称为投影面的垂直面。垂直于H面的称为铅垂面，垂直于V面的称为正垂面，垂直于W面的称为侧垂面。

（2）投影面的平行面。平行于一个投影面的平面称为投影面的平行面。平行于H面的称为水平面，平行于V面的称为正平面，平行于W面的称为侧平面。

表1-4列出了各投影面平行面的投影特性。

（3）投影面的倾斜面。与三个投影面都倾斜的平面称为投影面的倾斜面（简称倾斜面），如图1-41所示。因倾斜面与三个投影面既不平行也不垂直，所以在三个投影面上的投影既不反映实形，也没有积聚性的投影特点，故也不能直接反映出该平面对投影面的倾角。图1-41中△ABC的三个投影△abc、△a'b'c'、△a"b"c"都是△ABC的类似形。

二、平面上的点和直线

在投影图上图示和图解问题时，经常要用在已知平面上取点或直线的基本作图方法。

1．平面上取直线

1）直线在平面上的几何条件

满足下列条件之一的直线在该平面上。

（1）一直线经过平面上两个点　如图1-42所示，相交两直线AB、BC确定一平面P，由于K、L两点分别在AB、BC上，所以KL连线一定在P平面上。

（2）一直线经过平面上一点且平行于平面上的任一直线，如图1-43所示，相交两直线AB、BC确定一平面Q，G是AB上一点，过G作直线GH//BC，则GH一定在Q平面上。

2）平面上的投影面平行线

平面上的投影面平行线的投影应符合投影面平行线的投影特性，并满足直线在平面上的条件。

如图1-44所示，在△ABC平面上作水平线AE，需先在△ABC的V面投影上过a'作a' e' //X轴，再求出其水平投影ae，a'e'和ae即为水平线AE的两面投影，又如在△ABC平面上作正平线CF，则需过c作cf//X轴，再求出正面投影c'f '，c'f '和cf即为正平线的两面投影。

3）平面上的最大斜度线

平面上对某投影面倾角最大的直线称为平面上对该投影面的最大斜度线。

如图1-45（a）所示，过P平面上A点作一系列直线，如AN、AM ₁ 、AM ₂ 等，其中AN//P _H ，为P平面上的水平线。AM ₁ 、AM ₂ …它们对投影面的倾角各不相同，分别为ɑ ₁ 、ɑ ₂ 、… A点投影线Aa与AM ₁ 、AM ₂ …形成一系列等高的直角三角形。AM ₁ 、AM ₂ …分别为直角三角形的斜边，显然，斜边最短者倾角最大。由于AM ₁ ⊥AN（即AM ₁ ⊥P _H ），因此AM为最短的斜边，它的倾角α ₁ 为最大，即AM ₁ 为平面上过A点对H面的最大斜度线。根据垂直相交两直线的投影特性，AN为水平线时，am ₁ ⊥an。

因此，平面上对投影面的最大斜度线必定垂直于平面上对该投影面的平行线，最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直于平面上该投影面平行线的同面投影。即平面上对H面的最大斜度线的水平投影与平面上水平线的水平投影垂直，如图1-45（b）所示；平面上对V面的最大斜度线的正面投影与平面上正平线的正面投影垂直；平面上对W面的最大斜度线的侧面投影与平面上侧平线的侧面投影垂直。

由于△Am ₁ a垂直于P面与H面的交线P _H ，因此∠Am ₁ a即为P、H两平面的两面角，所以平面对投影面的倾角，即为平面上对该投影面的最大斜度线对同一投影面的倾角。即作出平面上对各投影面的最大斜度线，可相应地求出该平面对H、V、W面的倾角α、β、γ。

例1-12　求△ABC对V面的倾角β（见图1-46）。

分析：

平面对V面的倾角，即为平面上对V面的最大斜度线对V面的倾角。在作出该直线后，再用直角三角形法求β。

作图：

①过平面△ABC上任一点（如B点）作平面的正平线BD（bd，b'd'）；

②过A点的正面投影a'作a'e⊥b'd'，再求出ae，AE即为平面上过A点对V面的最大斜度线；

③用直角三角形法求出AE对V面的倾角即为平面对V面的倾角β。

2．平面上取点

点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。因此，在平面上取点时，一般要在包含该点的平面上作辅助直线，然后在辅助直线上求点。

例1-13　已知一平面ABCD。

①判别K点是否在平面上；

②已知平面上一点E的正面投影e'，作出其水平投影e （见图1-47（a））。

分析：

如果K点在平面上，则K点与平面上任意点的连线应在该平面上，即该连线应与平面上其他直线相交或平行。

作图（图1-47（b））：

①连接c'、k'并延长与a'b'交于f，由c'f '求出其水平投影cf，则CF是平面ABCD上的一条直线，如K点在CF上，则k、k'应分别在cf、c'f '上，而从作图中得知k不在cf上，所以K点不在平面上；

②连接a'、e'并与c'd'交于g'，由a' g'求出水平投影ag，则AG是平面上的一条直线，如E点在平面上，则E应在AG上，所以e应在ag上，于是过e'向下作投影，连线与ag延长线的交点e即为所求E点的水平投影。

例1-14　已知四边形平面ABCD的正面投影及A、B、D三顶点的水平投影（见图1-48（a）），试补全水平投影。

因已知四边形三个顶点的两面投影，故该平面的空间位置已定，C点在该平面上。由c'可在该平面上取c点，作图方法与例1-12相同（见图1-48（b））。

本例也可按下列步骤作图（见图1-48（c））：

①过c'作c' g'//a'b'，c' g'与a' d'交于g'；

②由g'向下引投影，连线与ad交于g；

③过g作gc//ab；

④由c'向下引投影，连线与gc交于c；

⑤连接bc、cd即为所求。

三、包含已知点和直线作平面

包含已知点或直线作平面是在解题过程中经常遇到的一种基本作图方法，特别是包含已知点或直线作投影面的垂直面更是常用的方法。

1. 包含已知点作平面

包含一个点可作各种位置的平面。

1）作倾斜面

包含一个点可作无数个倾斜面，如图1-49所示，是过点A任作两相交直线AB和AC确定的一个倾斜面。

2）作垂直面

包含一个点也可以作无数个投影面的垂直面。图1-50表示过A点任作铅垂面P，因其水平投影有积聚性，所以只要过H面投影a任画直线P _H 即可。

2. 包含已知直线作平面

包含倾斜线可以作无数个倾斜面，如图1-51所示，在任意位置上作直线EF平行于已知直线AB，这一对平行线所确定的平面即为包含直线AB的一个倾斜面。

包含倾斜线对各投影面都可作一个垂直面，图1-52表示包含直线AB作正垂面P。

四、综合题例分析

例1-15　设D点距离H面为15mm，且在△ABC和直线EF上（见图1-53（a）），求作D点投影并补全△ABC所缺投影。

分析：

由已知条件可知d'必在e'f'上且距离X轴为15mm，故可先求出D点的两面投影。因D点也是△ABC上的点，则由A、B、D三点的两个投影及c'即可作出C点的H面投影c。

作图（见图1-53（b））：

①在X轴上方15mm处作X轴的平行线与e'f'相交得d' ；

②由d'向下引投影连线与ef相交得d；

③连接c' d'并延长交a'b'于m'，再由m'向下引投影线求出m；

④连接md并延长与过c'的投影连线交于c；

⑤连接ac、bc即补全△ABC的H面投影。

例1-16　已知△DEF内有一直线AD，且ZD-ZA = 12，又知AD直线对H面的倾角α=45°，求AD直线的投影（见图1-54（a））。

分析：

因Z _D -Z _A =12，所以A点必在△DEF上且距离X轴为Z _A =Z _D -12的水平线GH上，AD直线的H面投影长度可由12及45°角，用直角三角形法求得。

作图（见图1-54（b））：

①在△d'e' f'内距离X轴为Z _D -12处作g'h'，再由g'、h'向下引投影连线求出gh；

②由Z _D -Z _A =12为直角边，α=45°为其对角作直角三角形d'D ₀ A ₀ ，则A ₀ D ₀ =ad；

③以d为圆心，A ₀ D ₀ 为半径作圆弧，交gh于a；

④由a求得a'，并连接a'、d'、a 、d即可。

例1-17　已知直线KL同时垂直于△ABC内的水平线及正平线（见图1-55（a）），求作KL所缺投影k及l'。

分析：

因KL垂直于△ABC内的水平线，所以kl垂直于水平线的水平投影，同时，因KL垂直于△ABC内的正平线，所以k' l'垂直于正平线的正面投影。

作图（见图1-55（b））：

①过C点和A点在△ABC内分别作水平线CD和正平线AE；

②过k'作k'l'⊥a'e'，过l作kl⊥cd，则k' l'及kl即为所求，此时直线KL必垂直于△ABC平面。