第三节
直线的投影

直线的空间位置可由直线上任意两点的空间位置来决定，直线的投影一般仍为直线，故直线的投影由直线上两点的投影所决定。

一、直线的投影

1. 直线投影的性质

（1）直线的投影一般仍为直线，特殊情况下积聚为一点。由图1-15可知，若通过空间直线AB上的C、D、E诸点分别向H面投射，得水平投影a、b、c、d、e…则Aa、Bb、Cc、Dd、Ee等投射线就构成垂直于H面的AabB平面。该平面与H面的交线是一条直线，ab直线即为直线AB 在H面上的投影。

但当直线与投射方向平行时，直线在此投射方向所得投影就积聚为一点，如图1-16所示。

（2）线段的正投影一般小于实长。有一定长度的直线称为线段，当线段与投影面构成一定倾角时，它在这个投影面上的投影长度小于线段实长。如图1-17所示，线段EF与H面的倾角为α，它在H面上的投影ef 小于EF，它们之间的关系为ef = EFcosα。

2. 直线投影图的画法

由于直线的空间位置可由直线上的任意两点的空间位置来确定，且直线的投影一般仍为直线，所以画它的三面投影图时，只要画出直线上任意两点的三面投影，然后分别连接这两点的同面投影，即得该直线的三面投影图。如图1-18（a）所示，直线AB的三面投影为H面投影ab，V面投影a´b´，W面投影a"b"。一般情况下，画出直线的两个投影即能完全确定直线的空间位置，图1-18（b）可以简化成图1-18（c）来表示。

3. 直线上点的投影

根据正投影基本特性可知，当点位于直线上时，两者的投影具有从属性和定比性。

（1）从属性。直线上的点，其各面投影必在该直线的同面投影上；反之，如点的各面投影在直线的同面投影上，则该点必在直线上。如图1-19所示，C点在直线AB上，则c´在a´ b´上，c点在直线ab上，则c" 在a"b"上。

（2）定比性。点在一条线段上，点分割线段之比等于点的各面投影分割线段的同面投影之比。例如，图1-19中线段AB上的C点分割线段为AC、CB两段，且AC:CB=3:2，则AC:CB = ac:cb=a'c':c' b'=a"b":c"b"=3:2。

例1-4　已知K点在线段AB上，由已知投影k'求投影k（见图1-20）。

因V面投影a´ k":k´ b´等于H面投影ak:kb，可按如下步骤作图：

①过a任意作一辅助线aA _o （用细线）；

②在辅助线上取aK _o = a´k´，K _o A _o =k´b´；

③连A _o b，并过K _o 作平行于A _o b的直线K _o k，此直线与ab的交点k即为所求投影。

应用点分割线段成定比的投影特点，也可以检查点是否在特殊位置的直线上，如图1-21所示，K点经作图检查表明它不在线段AB上。

二、各种位置直线的投影

空间直线相对于投影面的位置有三种：垂直、平行和倾斜，它们在各投影面上的投影有不同的投影特点。

1. 投影面的平行线

平行于一个投影面且与其他两投影面倾斜的直线称为投影面的平行线。平行于H面的直线称为水平线，平行于V面的直线称为正平线，平行于W面的直线称为侧平线。表1-1中分别列出了上述三种平行线的三面投影图及其投影特点。

从表1-1中可知，投影面的平行线有如下投影特点：

（1）直线在所平行的投影面上的投影反映线段的实长。如水平线AB的H面投影ab等于AB的实长（即ab=AB）。

（2）直线在所平行的投影面上的投影与两投影轴的交角，分别反映该直线与另外两个投影面的倾角。如表1-1中水平线AB的H面投影ab与OX轴的交角β，反映该直线对V面的倾角，而与Y轴的交角γ，反映直线对W面的倾角（直线对H、V、W面的倾角分别用a、β、γ表示）。

（3）直线在不与其平行的两个投影面上的投影，各平行于一个投影轴，其投影长度小于该直线的实长。如表1-1中水平线AB的V面投影a´b´// X轴，W面投影a"b"// Y轴，且a´b´和a"b" 均小于AB。

2. 投影面的垂直线

垂直于某一个投影面的直线称为投影面的垂直线。垂直于V面的直线称为正垂线，垂直于H面的直线称为铅垂线，垂直于W面的直线称为侧垂线。表1-2中分别列出了上述三种投影面垂直线的三面投影图及其投影特点。

从表1-2中可知，投影面的垂直线有如下投影特点：

（1）直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点，如正垂线AB的V面投影a'（b'）积聚为一点。

（2）另外两个投影各垂直于一个投影轴，如正垂线AB的H面投影ab垂直于X轴。

（3）垂直于一个投影面的直线必平行于另两个投影面，它在这两个投影面上的投影反映线段实长，如正垂线AB的投影ab=a"b"=AB。

3. 投影面的倾斜线

与V、H、W三个投影面都不平行也不垂直的直线称为投影面的倾斜线或一般位置直线。倾斜线在V、H、W面上的投影延长后均与投影轴相交，但其交角都不反映直线对投影面的倾角，线段的投影长度也都小于线段的实长。图1-22中线段AB即为倾斜线，它的投影ab、a'b'、a"b"均不平行各投影轴，且都小于线段AB实长。

三、由线段两投影求线段实长及其对投影面的倾角

倾斜线的三个投影都不反映它的实长及对投影面的倾角，需用作图法求解，直角三角形法为一种常用的方法。

1. 基本原理

在图1-23（a）中，已知倾斜线AB的两投影a'b'和ab。因为投影线Aa、Bb都垂直于H面，所以ABba是垂直于H面的一个平面，在这个平面里，过A作直线AB ₁ 平行于ab，则△AB ₁ B为一直角三角形，AB ₁ 为一直角边（AB ₁ = ab），另一直角边为B ₁ B，它等于A、B两点Z坐标差的绝对值，即B ₁ B=|Z _B -Z _A | 。AB与AB ₁ 之间的夹角即为AB线段对H面的倾角α。由此可见，只要根据两面投影中已知的ab、Z _A （等于a'a _X ）及Z _B （等于b'b _X ）作出上述三角形的实形，即可求得线段AB的实长及其对H面的倾角α。

2. 作图（见图1-23（b））

①以ab为一直角边，从b端（或a端）作一直线bB _o ⊥ab；

②在bB _o 线上量取|Z _B -Z _A |，得B _o 点；

③连接a得直角三角形abB _o ，则aB _o 即为所求AB的实长，aB _o 与ab间的夹角即表示了线段AB 对H面的倾角ɑ。

为作图简便，也可将直角三角形画在图1-23（c）所示的A ₁ B _o b'处。按上述作图原理和方法，用AB的V面投影a'b'为一直角边，以其两端点的Y坐标差为另一直角边作出直角三角形，求线段实长及α角（见图1-24）。关于线段对W面倾角γ的求法，请读者自行分析。

3. 应用举例

例1-5　已知CD = 25及其投影c' d'（见图1-25（a）），求D点的H面投影d。

分析：

根据直角三角形法则，已知直角三角形中的斜边（CD=25）及一直角边，据此可求得另一直角边，使本例得解。

作图：

方法一　以C、D两点的Z坐标差为直角边，求出H面投影cd的长（见图1-25（b））。

①过d"作X轴的平行线c'm；

②以CD=25为半径，d'为圆心作圆弧与c'm的延长线交于n，则mn=cd；

③以c为圆心，mn为半径作圆弧交投影连线dd'于d，连线cd即为所求（本题有两解）。

方法二　以c' d'长为直角边求出C、D两点的Y坐标差（见图1-25（c））。

①过c'（或d'）作c' d'的垂线c'C _o ；

②以d'为圆心，CD = 25为半径作圆弧与cC _o 交于C _o ；

③过c作X轴的平行线，与投影连线dd'相交于E点；

④在dd' 线上从E点量取Ed=c'C _o 得d，连线cd即为所求。

例1-6　已知线段EF的投影e'f'和e，又知EF对V面的倾角β=30°，求H面投影e f（见图1-26（a））。

分析：

用直角三角形法求解，本例已知一个直角边e'f'及夹角β，即可求得另一个直角边（EF两点的Y坐标差），再根据投影e即可作出EF的H面投影ef。

作图（见图1-26（b））：

①过f'点作f'E _o 与e'f'成30°角；

②过e'点作e'f'的垂线与f'E _o 交于E _o ，e'E _o 即为EF两点的Y坐标差；

③过e作eG _o 平行X轴且与f'对X轴垂线的延长线交于Go；

④在f'G _o 线上从G _o 点量取G _o f=e'E _o 得f点（两解），连线ef即为所求。如果本例给出的是α角，那么能否求作投影ef呢？请读者自行分析。

四、两直线的相对位置

空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉。它们的投影各有不同的特点，现分述如下：

1. 平行两直线

若空间两直线相互平行，则它们的各同面投影也一定相互平行。反之，若两直线的各同面投影都相互平行，则此两直线在空间也必定相互平行。如图1-27所示，已知AB平行于CD，当过AB、CD两直线向H面作投影线时，可构成两平行平面ABba和CDdc，它们与H面的交线ab和cd也一定相互平行，即ab // cd。同理，也可以证明投影a'b' // c'd'，a"b" // c"d"。

由于空间两平行线相对于同一投影面的倾角相同，故两直线的长度之比也等于此两直线各同面投影长度之比，即AB : CD=ab : cd=a'b' : c'd'=a"b" : c"d"。

在两面投影中，一般只要两条直线的每组同面投影都平行，即可反映两条直线在空间互相平行。但如图1-28所示的两条侧面平行线，仅画正面投影和水平投影并不能反映它们彼此平行与否，还需画出其侧面投影。

2. 相交两直线

若空间两直线相交，则它们的同面投影也一定相交，且交点的各投影之间符合点的三面投影关系。反之，若两直线的同面投影都相交，且交点的投影之间符合点的三面投影关系，则此两直线在空间必定相交，如图1-29所示，当AB、CD两直线相交时，则交点K便是AB、CD两直线上的共有点，根据直线与点从属性的投影特点可知，k'必在a' b'和c' d'上，即k'必是a' b'和c' d'的交点，同样k和k"也必定分别是ab与cd、a"b"与c"d”的交点。

在两投影面的投影图中，一般只要看两直线的两组同面投影是否相交，且两投影交点的连线是否垂直于投影轴，就可以判断这两条直线在空间是否相交（见图1-29（c））。但是，当两直线之一是投影面平行线时（见图1-30（a）），则需用点分割线段成定比的方法，或用三面投影的方法检查是否相交，如图1-30（b）、图1-30（c）所示。经检查，K点不属于EF直线上的点，而只位于GH直线上，故两直线不相交。

3. 交叉两直线（又称异面直线）

交叉两直线既不平行又不相交。因此，两直线的各组同面投影不可能同时都平行，或各组同面投影虽相交，但交点的各组同面投影之间不可能符合点的三面投影关系，例如，图1-28中两条直线的两组同面投影虽相交，但交点投影的连线不与X轴（或Z轴）垂直，所以AB与CD两直线在空间是交叉而不是相交。此时，交叉两直线同面投影的交点是两直线上各自的一个点在该投影面上的重影，如图1-31（a）所示，a' b'与c'd'的交点1'（2'）是AB直线上的I点与CD直线上的II点在V面上的重影，从图1-31（b）的H面投影可以看出，Y _I >Y _Ⅱ ，所以I在II的前方，对V面来说，AB线遮挡CD线。同理可知，H面中的3（4）点也是两直线上重影点的投影，从V面投影中可以判别出Ⅲ点在Ⅳ点的上方，对H面来说，CD线遮挡AB线。

利用交叉两直线上两重影点判断两直线的相对位置的方法，是以后研究几何要素相交问题、判断投影可见与不可见的基本方法。

五、相互垂直两直线的投影

空间两直线相互垂直有两种形式：相交垂直（称为正交）和交叉垂直。如图1-32（a）中两锥齿轮轴线是正交，图1-32（b）所示蜗杆和蜗轮的两轴线是交叉垂直。

1. 垂直两直线的投影特点

（1）若垂直相交两直线之一是投影面的平行线，则两直线在该投影面中的投影仍相互垂直，此投影特点也称为直角投影定理，证明方法如下（见图1-33（a））：

已知AB⊥BC，且BC平行于H面；

因BC⊥AB，BC⊥Bb，故BC必垂直于平面ABba，从而可知，BC⊥ab（交叉垂直）。

又因BC // bc，所以ab⊥bc。

（2）上述定理的逆定理为若两直线的某组同面投影相互垂直，且另一组同面投影中其中一条平行于投影轴，则此两直线在空间必相互垂直（见图1-33（b））。

当两直线交叉垂直时，其投影特点也符合上述定理。

但是从图1-34所示的两相交直线的投影来看，它们在空间是不相垂直的。

2. 垂直两直线的基本作图

例1-7　已知点D及正平线EF（见图1-35（a）），试过D作直线DK与EF正交。

分析：

过已知点D只能作一条直线与EF正交，因EF平行于V面，所以e'f'⊥d'k'。

作图（见图1-35（b））：

①过d'作d'k'⊥e'f'，已知，k'为垂足K的V面投影；

②过k'作X轴的垂线，与ef相交于k；

③连接dk，则d' k'和dk即为所求直线DK的两个投影。

例1-8　过C点作一直线与倾斜线AB垂直（见图1-36（a））。

分析：

过C点可作无数条直线与AB垂直，但根据本节所述方法，只能作出投影面的平行线与AB垂直。

作图：

图1-36（b）表示，过C点作正平线CF垂直于AB（c'f'⊥a'b' ，cf平行于X轴）。而图1-36（c）表示，过C点作水平线CD垂直于AB （ab⊥cd，c'd'平行于X轴）。由图1-36（b）、图1-36（c）可看出，正平线CF、水平线CD与直线AB均呈交叉垂直。

六、综合题例分析

在综合题中，往往涉及两个以上的几何关系，解题时，应根据题意作空间分析和构思，运用所学的基本理论确定作图方法，有条理地逐步解决，获得正确答案。

例1-9　已知直线EF平行于CD，并与直线AB相交，又知F点在H面上，求图1-37（a）中直线EF和AB所缺的投影ɑ、f、f '和交点K。

分析：

因EF//CD，所以ef // cd ，e' f ' // c' d'，又因F点在H面上，所以f '必定在X轴上。由于AB 与EF相交，则交点的投影连线必垂直于X轴。

作图（见图13-37（b））：

①过e'作e'f '//c' d'并交X轴于f '；

②过e作ef//cd，并使ff '垂直于X轴；

③过e' f'与a'b'的交点k'作X轴的垂线，交ef于k；

④连接b、k并延长，与a'对X轴垂线的延长线相交得a点。

例1-10　过K点作直线KL⊥AB并与EF相交，AB为水平线（见图1-38（a））。

因KL⊥AB，AB平行于H面，所以kl⊥ab。又因kl与ef只能有一个交点l，所以即可确定l'，得k'l'，具体作图如图1-38（b）所示。

例1-11　已知图1-39（a）中正方形ABCD的AB边的投影a'b'平行于X轴，又知C点在A点的前上方且距离H面为Z _c ，求正方形ABCD的投影。

分析：

因a' b'平行于X轴，所以AB线是水平线。则ab = AB，且ab⊥ad，ab⊥bc。由于C点距离H面为Z _c ，则c'点必在离X轴距离为Z _c 的平行线上，进而根据直角三角形法求出bc的长度。

作图（见图1-39（b））：

①在距X轴上方Z _c 处作X轴的平行线，则c'和d'必在此平行线上；

②以Z _c 、Z _b 为直角边，ab之长为斜边作直角三角形BC _o C，得bc；

③过a 、b两点分别作ab的垂线，并量取bc=ad=BC _o ，即得c和d点；

④由c 、d向上引投影连线得c'和d'点；

⑤连接a、b、c、d和a'、b'、c'、d'即得正方形ABCD的两个投影。