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空间几何元素的投影与投影光线、空间几何元素和投影面三者之间的相对位置有关，在解题时，根据需要有目的地改变其中一个或两个位置关系以得到新的投影，这种由原投影到新投影的转换称为投影变换。
从第三、四节中对直线、平面的投影分析可知，当空间直线和平面等几何元素对投影面处于平行或垂直的特殊位置时，其投影能够直接反映实形或具有积聚性，这样使得图示清楚、图解方便简捷。投影变换就是研究如何改变几何元素与投影面之间的相对位置，借助改变后的新投影来达到简单地解决空间问题的目的，本节介绍投影变换的方法。
变更投影面法简称换面法，即在原投影面体系中，空间几何元素的位置保持不动，再设立一个新的投影面，使新投影面相对于空间直线或平面处于平行或垂直位置，从而在新投影面上得到实形或积聚性的投影，方便地解决图示、图解问题。如图1-56所示，△CDE为一铅垂面，其投影c'd'e'、cde均不反映实形。设新投影面V 1 使它平行于△CDE且垂直于H面，在新投影面V 1 上的投影c 1 'd 1 'e 1 '即为△CDE实形。
变换方法，只改变空间几何元素与投影面之间的相互关系，而不改变空间几何元素之间的相互关系。
图1-56 变更投影面法
我们把原来的三个投影面V、H、W 称为基本投影面，根据图示和图解同题的需要，可在原有投影面的基础上增设新的投影面，新设的投影面称为辅助投影面，而在这个辅助投影面上所得到的几何元素的正投影称为辅助投影（简称新投影）。
设立辅助投影面时，必须遵循如下两条规则：
1）辅助投影面一定要与原来的一个投影面垂直；
2）辅助投影面的方位遵循有利于解题的原则来选定。
例如，要求直线AB的实长时，则可设立辅助投影面V 1 垂直于H面并平行于直线AB（见图1-57），或设立新投影面H 1 垂直于V面而平行直线AB（见图1-58）。
图1-57中新设立的投影面V 1 垂直于H面，这样就使V 1 面与H面构成了一个V 1 /H新的直角投影面体系来替代原来的V/H投影面体系，也就是用V 1 面替换了V面，所以这种方法叫做变换投影面法（简称换面法）。V 1 面和H面的交线作为新投影轴，用X 1 、X 2 …表示。如果新设立的投影面是垂直于V面的H 1 面（见图1-58），则表示用V/ H 1 体系替代了V/H体系，也即用H 1 面替换了H面。
换面以后，在新投影面体系中，根据图示和图解的需要，还可以进一步进行换面，方法同前（换面的次数原则上可以进行无数次）。
图1-57 辅助投影面垂直于H面
图1-58 辅助投影面垂直于V面
由于点是构成形体的最基本要素，因此点的辅助投影作图就是一切几何元素辅助投影作图的基础。
1）点的辅助投影图的形成
图1-59表示在V/H体系中有一A点，所设立的辅助投影面V 1 垂直于H面，A点在V 1 面上的正投影为a 1 '，要使A点的原投影a、a'及新投影a 1 '画在一个图面上，其展平方法是：先把V 1 面绕X 1 轴旋转到与H面重合，再随H面绕X轴旋转到与V面重合（见图1-60（a）），这样就在原两面投影为基础的投影图上得到了A点的辅助投影a 1 '（见图1-60（b））。
2）点的新旧投影之间的关系
由图1-59中可以看出，A点距离H面的距离ZA等于A点在V 1 面上的投影a 1 '到a X1 的距离，也等于A点的V面投影a'到a X 的距离，即a 1 ' a X = a' a X = Z A 。又因a和a 1 '是A点向互相垂直的H面和V 1 面作出的正投影，所以当投影面展平后，a和a 1 '的投影连线必垂直于X 1 轴，即a垂直于X 1 轴。通过以上分析，可归纳出点的辅助投影与原投影之间的关系（或称新旧投影之间的关系）如下：
图1-59 点的辅助投影
（1）新投影体系中两投影之间的投影连线垂直于新投影轴，如图1-60（a）中a 1 'a垂直于X 1 轴；
（2）新投影到新投影轴的距离等于被替换的原投影到原投影轴的距离，如图1-60（b）中a 1 'a X1 =a' a X 。
上述两点也是辅助投影的投影规律，根据它就可由原两面投影求作新投影，也可由新投影反求原投影。
图1-60 点的辅助投影
图1-61（a）是用更换水平面投影的方法求B点的H 1 投影b 1 ，其作图步骤如下：
①在距离b'适当位置处画X 1 轴（因题意中对X 1 轴方向没有要求，因此它的方向可以任意选取，它距b'的距离也无关紧要）；
②由b'向X 1 轴作垂线b'b X1 ；
③在这条垂线的延长线上，由b X1 起量取b 1 b X1 =bb X ，得B点在H 1 面上的辅助投影b 1 （见图1-61 （b））。
图1-61 求作点的辅助投影
3）点的二次换面
图1-62给出了点A二次换面的投影变换关系。点A从V/H体系中的a'、a变换成V 1 /H体系中的a 1 '、a，实现一次换面；在V 1 /H体系中，再设立垂直于V 1 的投影面H 2 替换投影面H，建立起第二个新投影体系V 1 /H 2 ，其中，H 2 称为新投影面，V 1 称为保留不变投影面；X 1 称为旧轴，X 2 称为新轴；a 2 为新投影，a 1 '为不变投影，a为同面旧投影。显然，仍存在a 1 ' a 2 ⊥X 2 及a 2 a X2 = aa X1 的关系，即点的二次换面仍符合前面一次换面的变换规律，于是能作出新投影a 2 。注意在作图过程中，H 2 是绕X 2 轴旋转重合于V 1 面的。
图1-62 点的二次变换
直线的投影变换是由直线上任意两点的投影变换来实现的。变换后直线的新投影就是直线上两个点变换后的同面新投影的连线。
在直线投影变换中，将直线变成新投影面的平行线或垂直线是常用的基本作图方法，现分述如下：
1）将倾斜线变为投影面的平行线
如图1-63（a）所示，若使V/H体系中倾斜线AB在V 1 /H新体系中成为V 1 面的平行线，则设立的V 1 面必须与直线AB平行且垂直于H面，其具体作图如图1-63（b）所示。
图1-63 将倾斜线变成平行线（一）
①作X 1 轴与ab平行，这就表示所作V 1 面与直线AB平行而且垂直于H面；
②分别作出直线A、B两点的V 1 面投影a 1 '、b 1 '（使投影连线aa 1 '、bb 1 均垂直于X 1 轴，且a 1 'a X1 =a'a X ，b 1 ' b X1 =b'b X ）；
③连接a 1 '、b 1 '即为直线AB在V 1 面上的投影。
这时在V 1 /H体系中AB的两面投影就具有平行线的投影特点：ab平行于X 1 轴，a 1 ' b 1 '反映直线AB的实长，且a 1 'b 1 '与X 1 轴的交角即为直线AB对H面的倾角α。
我们也可以如图1-64那样作H 1 面垂直于V面并平行于直线AB，在V/H 1 体系中求得直线AB的实长及其对V面的倾角β。
由上述可知，要求直线的实长，可更换原投影面的任一个，但要求直线对某投影面的倾角，则在新投影面体系中必须包含该投影面，例如，求直线对H面的倾角α，必须建立新投影面体系V 1 /H，而不是V /H 1 。
图1-64 将倾斜线变成平行线（二）
2）将平行线变为投影面的垂直线
要使图1-65（a）V/H体系中的水平线CD在新体系中成为辅助投影面的垂直线，所设立的辅助投影面V 1 必须垂直于水平线CD且垂直于H面，它与H面构成了一个新的投影面体系V 1 /H。其作图步骤如下（见图1-65（b））：
①作X 1 轴垂直于cd；
②延长cd，此延长线与X 1 轴相交于c X1 ；
③在cd延长线上量取c X1 c 1 ' =c'c X 或d X1 d 1 '=d'd X 得积聚性的辅助投影c 1 '（d 1 '）点，于是在新投影面体系V 1 /H中，直线CD就成为V 1 面的垂直线。
图1-65 将水平线变成垂直线
图1-66（a）中EF直线在V/H体系中为一条正平线，若使它在新投影面体系中变为投影面的垂直线，则所设立的辅助投影面必须垂直于EF直线的正垂面H 1 。在此情况下，EF直线在V/H 1 体系中成为垂直于H 1 面的垂直线。具体作图如图1-66（b）所示。
图1-66 将正平线变成垂直线
3）将倾斜线变为投影面的垂直线
要使图1-67（a）V/H体系中的倾斜线AB变为辅助投影面的垂直线，最终所设立的辅助投影面要与倾斜线AB垂直，但这在V/H体系中经一次变换投影面是做不到的，因为在此情况下作辅助投影面不可能同时与AB垂直又要与前体系中任一个投影面垂直。因此必须进行两次变换投影面才能达到要求：即第一次先设立V 1 面垂直于原投影面H并平行于直线AB，使直线AB变为V 1 /H体系中V 1 面的平行线。第二次再设立H 2 面垂直于V 1 面并垂直于直线AB，使直线AB变为V 1 /H 2 体系中H 2 面的垂直线。在这里应注意，第二次设立的投影面H 2 在画图过程中是绕X 2 轴旋转重合于V 1 平面的。图1-67（b）是两次换面的作图效果，其步骤如下：
①作X 1 轴平行于ab，求出AB在V 1 面中的辅助投影a 1 'b 1 '；
②作X 2 轴垂直于a 1 'b 1 '，在a 1 'b 1 '延长线上量取a X2 a 2 =aax 1 ，得积聚性投影b 2 （a 2 ）。
在两次变换时，也可以根据解题的需要，第一次用H 1 面替换H面，建立V/H 1 体系；第二次再用V 2 面替换V面，建立V 2 /H 1 体系，使直线成为V 2 面的垂直线。
图1-67 将倾斜线变成垂直线
总之，将倾斜线变换成垂直线需经过两次换面，第一次先将其变换成平行线，在此基础上，第二次才将其变换成垂直线。此例其实是前述两例的合成。
对平面进行投影变换，实际上是对该平面上不在同一直线上的三个点进行投影变换来实现的。在应用中，常将平面变换成新投影面的平行面或垂直面。
1）将倾斜面变为投影面的垂直面
从图1-68（a）中可以看出，若要使V/H体系中的倾斜面△ABC变为辅助投影面V 1 的垂直面，则需使V 1 面垂直于△ABC上的一条水平线，这样该辅助投影面既垂直于△ABC，又垂直于投影面H。△ABC在V 1 /H体系中的V 1 面投影反映了垂直面投影的特性。具体作图步骤如下（见图1-68（b））：
①在△ABC上作水平线AD（a'd'、ad）；
②作X 1 轴垂直于ad（这表明V 1 面垂直于△ABC及H面）；
③作出A、B、C三点的辅助投影a 1 '、b 1 '、c 1 '，它们的连线必积聚成一条直线，即为△ABC 的V 1 面投影，该直线与X 1 轴的交角便是△ABC对H面的倾角α。
图1-68 将倾斜面变成垂直面（一）
如果设立辅助投影面H垂直于△ABC上的正平线，则△ABC在H 1 面上的投影也积聚成一条直线，且该直线与X 1 轴的交角即△ABC对V面的倾角β（见图1-69）。
图1-69 将倾斜面变成垂直面（二）
由上述可知，要求空间平面对某投影面的倾角时必须以该投影面为基础，设立新投影面与之垂直，而构成新投影面体系。
2）将垂直面变为投影面的平行面
如图1-70（a）所示，要使一铅垂面△ABC变为辅助投影面的平行面，则设立的辅助投影面V必定是平行于△ABC的铅垂面。故在投影图上（见图1-70（b））先作X 1 ∥abc，然后分别作出A、B、C三点辅助投影a 1 '、b 1 '、c 1 '并连接成△a 1 'b 1 'c 1 '，则△a 1 'b 1 'c 1 '≌△ABC 。
图1-70 将垂直面变成平行面
3）将倾斜面变为投影面的平行面
把图1-71（a）V/H体系中的倾斜面△ABC变为辅助投影面的平行面时，为了保证设立的辅助投影面最终与△ABC平行，同时还要与前一体系中的一个投影面垂直，必须两次变换投影面才能实现，即第一次先设立V 1 面垂直于原投影面H并垂直于△ABC，使△ABC变为V 1 /H体系中的投影面V 1 的垂直面。第二次再设立H 2 面垂直于V 1 面并平行于△ABC，使△ABC变为V 1 /H 2 体系中H 2 的平行面，具体作图步骤如下（见图1-71（b））：
①同图1-68做法一样，先把△ABC变换为V 1 面的垂直面，它在V 1 面上的投影积聚成a 1 'b 1 'c 1 '直线；
②作X 2 轴平行于a 1 'b 1 'c 1 '，求出△ABC在H 2 面上的投影△a 2 b 2 c 2 。因△ABC平行于H 2 面，所以△a 2 b 2 c 2 ≌△ABC。
上述变换是按V/H →V 1 /H→V 1 /H 2 的顺序使△ABC变换成H 2 面的平行面的，当然也可按V/H →V/H 1 →V 2 / H 1 的顺序进行变换，使△ABC成为V 2 面的平行面。
这一基本作图方法常用来解决求倾斜平面实形或由平面实形反求其投影等的问题。
图1-71 将倾斜面变成平行面
上述辅助投影中的基本作图方法常用来解决空间几何元素之间的距离、夹角以及几何元素的定形和定位问题，下面举例说明。
例1-18 过A点作一直线AK与BC直线正交（见图1-72（a））。
分析：
根据直角投影定理可知，当两正交直线之一为投影面平行线时，则在该投影面中两直线的投影反映垂直关系。为此，先用换面法把BC直线变换成投影面的平行线，再画出AK的投影。
作图（见图1-72（b））：
图1-72 综合题例（一）
①作X 1 //bc（即设立V 1 面平行于BC直线）；
②在V 1 面上作出BC及A点的投影b 1 'c 1 '和a 1 '；
③过a 1 作b 1 'c 1 '的垂线，得垂足K的V 1 面投影k 1 '；
④由k 1 '作X 1 轴的垂线与bc相交于k，再由k作出k' ；
⑤连接a'k'及a'k，即为所求正交直线AK的V、H面投影。
如果求出AK的实长，就是A点到直线BC的距离。
例1-19 已知等边△CDE为一铅垂面，又知CD的两投影cd、c'd'，试补全△CDE所缺的投影（见图1-73（a））。
分析：
垂直面可通过一次变换成新投影面的平行面，则在新投影中可根据已知条件作出等边△CDE的投影（实形），然后再返回作出它的V、H面的投影。
作图（见图1-73（b））：
①作X 1 // cd（投影面V 1 平行于铅垂面△CDE）；
②求出CD边在V 1 面中的投影c 1 'd 1 '；
③在V 1 面投影中以c 1 'd 1 '为边长作等边△c 1 'd 1 'e 1 '（此题有两解，这里只画出一个）；
④由e 1 '返回得H面投影e，再由e向上引X轴垂直线，并量取e X e' = e X1 e 1 '，即得e' ；
⑤连接c'、e'及d'、e'，则△c'd'e'即为所求△CDE的V面投影。
图1-73 综合题例（二）
例1-20 已知△ABC对H面的倾角为45°，AC是水平线，试补全△ABC的V面投影（见图1-74 （a））。
分析：
若使△ABC经一次变换成V 1 面的垂直面，则△ABC在V 1 面上的投影积聚成一条与X 1 轴成45°的直线。因为AC是水平线，所以X 1 轴的方向可以确定（X 1 ⊥ac），由a、a'画出△ABC的V 1 面投影a 1 'b 1 'c 1 '，然后由△abc及a 1 'b 1 'c 1 '作出V面投影△a'b'c'。
作图（见图1-74（b））：
①在适当位置画X 1 ⊥ac；
②由a 1 '、a作出a 1 '（c 1 '与a 1 '相重合）；
③过a 1 '作直线与X 1 轴成45°角（有两解，此图只画出一解），此线即为△ABC的V 1 面投影；
④由△abc及a 1 'b 1 'c 1 '作出△ABC的V面投影△a' b' c'（注意a'c'//X轴）。
图1-74 综合题例（三）
例1-21 求交叉两直线AB、CD间的距离（见图1-75）。
分析：
交叉两直线间的距离即为它们之间的公垂线长度。如图1-75（a）所示，若使两交叉直线之一（如CD）变换成垂直线，则公垂线KI必平行于新投影面，其新投影反映实长，且与另一直线（AB）在新投影面上的投影相互垂直。
作图（见图1-75（b））：
①将直线CD经过二次变换成为垂直线，它在H 2 面上的投影积聚为一点c 2 （d 2 ）。直线AB也随之作相应变换，其H 2 面上的投影为a 2 b 2 。
②过c 2 （d 2 ）作k 2 l 2 ⊥a 2 b 2 ，k 2 l 2 即为公垂线KL在H 2 面上的投影，也即两交叉直线AB、CD间的距离实长。
如果求出KL在V/H体系中的投影k'l'、kl，可根据从k 2 l 2 、k 1 'l 1 ' （k 1 'l 1 '//X 2 轴）返回作出。
图1-75 综合题例（四）