1.2.1 考点精讲

1．数制转换

（1） R 进制数转换成十进制数

R 进制数转换成十进制数通常使用按权展开法。具体操作方式为：将 R 进制数的每一位数值用 R ^k 形式表示，即幂的底数是 R ，指数为 k ， k 与该位和小数点之间的距离有关。当该位位于小数点左边， k 值是该位和小数点之间数码的个数，而当该位位于小数点右边， k 值是负值，其绝对值是该位和小数点之间数码的个数加 1。

例如，二进制数l0101.01 的值可计算如下：

l0101.01=1×2 ⁴ +1×2 ² +1×2 ⁰ +1×2 ^{− 2}

按照上面的表示法，即可计算出 R 进制数十进制的值。

（2）十进制数转换为 R 进制数

最常用的是“除以 R 取余法”。例如，将十进制数 85 转换为二进制数：

将所得的余数从低位到高位排列（1010101） ₂ 就是 85 的二进制数。

（3）二进制数与八进制数、十六进制数之间的转换

●　二进制数转八进制数：将每3个二进制数转换为八进制数；

●　二进制数转十六进制数：将每4个二进制数转换为十六进制数；

●　八进制数转二进制数：将每个八进制数转换为3位的二进制数；

●　十六进制数转二进制数：将每个十六进制数转换为4位的二进制数。

上面的转换都是以小数点作为计算数码个数的起点。八进制数和十六进制数转换可先转换为二进制数，然后再转换为目标进制。

2．原码、反码、补码、移码

在计算机中，数据编码方式可以有多种，最为常见的有原码、反码、补码、移码。一个正数的原码、补码、反码是相同的，负数则不同。

（1）原码

将最高位用作符号位（0 表示正数，1 表示负数），其余各位代表数值本身的绝对值的表示形式。这种方式是最容易理解的。

例如，+1 的原码是 0000 0001，–1 的原码是 1000 0001。

但是直接使用原码在计算时却会有麻烦，比如(1) ₁₀ +(–1) ₁₀ = 0，如果直接使用原码则：

(0000 0001) ₂ ＋(1000 0001) ₂ =(1000 0010) ₂

这样计算的结果是–2，也就是说，使用原码直接参与计算可能会得到错误的结果。所以，原码的符号位不能直接参与计算，必须和其他位分开，这样会增加硬件的开销和复杂性。

（2）反码

正数的反码与原码相同。负数的反码符号位为 1，其余各位为该数绝对值的原码按位取反。这个取反的过程使得这种编码称为“反码”。

例如，–1 的反码：1111 1110。

同样进行上面的加法，使用反码的结果是：

(0000 0001) ₂ + (1111 1110) ₂ = (1111 1111) ₂

这样的结果是负 0，而在人们普遍的观念中，0 是不分正负的。反码的符号位可以直接参与计算，而且减法也可以转换为加法计算。

（3）补码

正数的补码与原码相同。负数的补码是该数的反码加 1，这个加 1 就是“补”。

例如，–1 的补码：1111 1110+1 = 1111 1111。

再次做加法是这样的：

(0000 0001) ₂ + (1111 1111) ₂ = (0000 0000) ₂

直接使用补码进行计算的结果是正确的。

对一个补码表示的数，要计算其原码，只要对它再次求补，可得该数的原码。

由于补码能使符号位与有效值部分一起参加运算，从而简化了运算规则，同时它也使减法运算转换为加法运算，进一步简化计算机中运算器的电路，这使得在大部分计算机系统中，数据都使用补码表示。

（4）移码

移码是对补码的符号位取反得到的一种编码。移码只用于表示浮点数的阶码，所以只用于整数。

例如，−1 的移码为：0111 1111。

3．浮点数计算

在数学中，要表示一个很大的数时，我们常常使用一种称为科学计数法的方式：

N = M * R ^e

其中 M 称为尾数， e 是指数， R 为基数。

浮点数就是使用这种方法来表示大范围的数，其中指数一般是 2、8、16。而且对于特定机器而言，指数是固定不变的，所以在浮点数中指数并不出现。从这个表达式可以看出：浮点数表示的精度取决于尾数的宽度，范围取决于基数的大小和指数的宽度。

浮点数的运算主要有 3 个步骤：对阶、尾数计数、结果格式化。

（1）对阶

首先计算两个数的指数差，把指数小的向指数大的对齐，并将尾数右移指数差个位数，这样两个浮点数就完成了对阶的操作。可以看出，对阶的过程可能使得指数小的浮点数失去一些有效位。如果两个浮点数阶数相差很大，大于指数小的浮点数的尾数宽度，那么对阶后那个浮点数的尾数就变成了 0，即当作机器零处理了。

（2）尾数计算

对阶完成后，两个浮点数尾数就如同定点数，计算过程同定点数计算。

（3）结果格式化

尾数计算后，可能会产生溢出，此时将尾数右移，同时指数加 1，如果指数加 1 后发生了溢出，则表示两个浮点数的运算发生了溢出。

如果尾数计算没有溢出，则尾数不断左移，同时指数减 1，直到尾数为格式化数。如果这个过程中，指数小于机器能表达的最小数，则将结果置“机器零”，这种情况称为下溢。 9cSl31jx8QalNEc4gubQ6QiyXy+yY6iTRiuYaNPDQmplJH7EsUa3b1WsZzB3jWVc