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本节将给出量子力学的5个公设，涵盖量子力学涉及的部分重要的基础理论，具体为：公设1说明量子力学如何描述物理系统；公设2说明量子力学如何刻画物理量；公设3给出封闭量子力学系统演化的动力学方程；公设4给出获取量子系统信息的测量理论；公设5描述如何描述复合量子系统。
公设1：任一孤立的物理系统中，都存在一个被称为系统状态空间的复内积向量空间（Hilbert空间）与之联系，系统状态完全由状态空间向量所描述，并且向量是系统状态空间的一个单位向量 [苏汝铿 2002] 。
在经典力学中，微观粒子在某一确定的时刻必然具有确定的位置。然而，在量子力学中，微观粒子在确定的时刻，一般没有确定的位置，而是以一定概率在每个可能的位置出现。量子力学理论认为，微观粒子的状态可以由波函数完全描述。
波恩（Born）指出：某一时刻，波函数在空间中某一点的强度（即其振幅模的平方）和在这一点中找到粒子的概率成正比，和粒子相联系的波是一种概率波。令波函数为
，则
表示在t时刻粒子出现在
处的概率。由于某时刻粒子在空间中某点出现的概率是单值，因此在一般情况下，除个别孤立点外，波函数
应该是
的单值、有界和连续函数。对于许多物理状态，粒子在全空间出现的概率为1，因此一般要求波函数
应是平方可积函数，且满足归一化条件，即
基于上述波函数的描述，如果
是体系的可能状态，则它们的线性叠加所得出的波函数
也是体系的一个可能状态，这称为量子力学的态叠加原理。在这里，并不要求各个波函数之间是正交的，但总可以通过Hilbert空间的正交化方法，把
写成一组正交波函数的叠加。
为了方便地表示系统的状态，狄拉克引入了符号
（右矢，ket）表示系统的状态，其转置共轭标示为“
”（左矢，bra）。
就可以表示系统的一个量子态，可以认为其等价于
，再比如
就可表示粒子处于位置x的量子态。本书中将更多地采用狄拉克符号表示法来表示系统的量子态，在无限维的Hilbert空间中，
可以构成一组正交归一基函数。如果某粒子处于态ψ(x)（为方便起见，考虑一维空间，并且省去时间参数t），那么该粒子的的状态用狄拉克符号
表示，可写为
其中，
为粒子的状态，ψ(x)为粒子处于位置x处的概率幅，也就是波函数，
为基函数。由此可以看出，波函数和狄拉克符号都可以用来表述系统的量子态，两者一一对应。由于系统状态空间的“正交归一基态”
（基函数对应的状态）满足
，则
即，
由公设1，系统的状态
对应于Hilbert空间的单位向量，称
为态矢。式（2.3）即表示态矢按本征值展开，当本征矢为有限个时，式（2.3）可表达为
其中，
为本征矢，
为对应系数，
公设2：（力学量）量子力学中，任意实验上可以观测的力学量均由一个线性厄米算子F描述，其厄米性要求
F
†
表示F的转置共轭。线性厄米算子有两个重要性质：第一，线性厄米算子的本征值必为实数，其所有本征矢是完备的，且属于不同本征值的本征矢彼此正交；第二，任何量子态
下，线性厄米算子的平均值
必为实数。
由公设1可知，若给出微观粒子的波函数，就确定了微观粒子的运动状态。此状态下系统的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，一般并不具有确定的数值，只具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就被完全确定。
设定义在n维Hilbert空间中的力学量F具有n个本征值f
i
（非简并的情况），分别对应本征矢
，其中(i＝1,…,n)。由
的完备性可知，系统所处的任意量子态
均可展开为
中元素的线性叠加
式中，
。当对力学量F进行测量时，每次测量的结果只能得到F的本征值之一，得到此结果的概率对应上式中的展开系数的模方
。
在量子通信中，经常会用到一组力学量算符
，也称为Pauli算符，这里给出其各分量的定义：
Pauli算符在不同的物理背景下代表的力学量有所不同，本书将在具体上下文中指明。
公设3：封闭量子系统的演化由Schrödinger方程描述
该方程中，ħ称为Planck常数；H是一个厄米算子，称为封闭系统的Hamilton量。由式（2.14）可见，系统的演化状态可以通过求解微分方程得出，而获得特定物理系统的Hamilton量的具体形式需要通过大量的实验确定，这一直是物理学研究的重要问题，而且对于一些常用的量子系统已经得到了很多明确的结论。在量子信息学中，一般不讨论如何确定Hamilton，只是简单假设所讨论量子系统的Hamilton为已知。
首先，Hamilton量可以用于确定系统可能处于的状态。由上所述，Hamilton量是一个Hermite算子，所以有谱分解
其中，λ
i
习惯上称做能量特征值；
为对应的特征向量，习惯上称做能量本征态。对于氢原子Hamilton量来说，谱分解所得到的本征态联系着氢原子的一条谱线。
另一方面，若给定系统的Hamilton量和t 0 时刻的初态，由方程初值问题解的唯一性可知，系统t(t 0 ＜t)时刻的态是唯一确定的。采用狄拉克的表示方法，这个态演化的过程可以用一个算子U来描述，即有
式中，算子U(t 0 ,t)将系统t 0 时刻的态矢量变为t时刻的态矢量，称为演化算子。显然，演化算子的形式应由薛定谔方程中的Hamilton量所决定。特别地，当Hamilton量不含时间变量时，由薛定谔方程可导出演化算子的具体形式
公设4：一个一般的量子测量由一族线性算子{M m }来描述。这些算子作用在要测量系统的状态空间上，且满足完备性条件
其中，指标m表示测量可能产生的结果。假设测量前系统处于状态
，则观测到结果m的概率为
测量后系统的状态为
公设4给出了量子测量的最一般形式，由这样一组线性算子{M m }来描述的测量一般称为量子广义测量，或量子一般测量 [Nielsen 2000] 。
量子广义测量是量子测量的最一般形式，其基本数学描述由公设4给出，其中包含两个要素：
（1）测量结果的概率特性。量子测量得到不同结果的概率由等式p(m)给出，完备性条件保证了所有结果的概率和为1。
（2）测量之后系统的态。系统测量后的态取决于测量结果，对应不同测量结果的末态形式由式（2.17）给出。
量子投影测量是量子广义测量的一个重要特例。当公设4中的测量算子{M m }除满足完备性条件等式外，还满足{M m }是正交投影算子的条件，即
则量子广义测量退化为投影测量{P m }。
量子投影测量的重要意义在于以下两个方面。第一，从抽象的数学描述来说，投影测量是量子测量中最简单的模型，例如，量子信息学中经常引用的在“某一组正交归一基
上的测量”即是指投影测量{P
m
}，其中
第二，从物理的角度看，对任何可观测的力学量所做的测量本质上都是投影测量。由公设3，任何可观测的力学量都可由一个线性厄米算子描述。设某一力学量对应线性厄米算子Q，
是Q属于特征值m的本征矢，则
构成了原空间的一组正交归一基。对力学量Q的测量即为在正交归一基
上进行的投影测量，其测量算子相应地记为
。设系统测量前处于状态
，则对应特征值m的测量结果产生的概率为
这与公设3中给出的结果一致，又由公设4可知，测量后系统的状态将塌缩到态
。
正算子测量（Positive-Valued Operator Measurement，PVOM）是量子广义测量的数学简化形式。在实际的信息处理中，许多情况下往往只对测量的结果感兴趣，而对测量后系统状态并不关心。设量子一般测量算子{M
m
}在状态为
的量子系统上进行测量，此时可以重新定义
根据公设3和代数知识可知，E
m
是满足∑
m
E
m
＝1和p(m)＝
≥0的半正定算子。E
m
称为一个PVOM元，完整的集合{E
m
}称为一个PVOM测量。需要注意的是，PVOM应被视为研究量子一般测量的统计特性时的一种方便的数学工具，而非一种特定的测量模式。从这个意义上来说，物理上实现一个量子一般测量和实现其对应的PVOM测量是等价的。
公设5：复合物理系统的状态空间是分物理系统状态空间的张量积，若将分系统编号为1到n，系统i的状态被置为
，则整个系统的总状态为
。
该公设描述了如何从分系统的状态空间构造出复合系统的状态空间。量子力学的态叠加原理说明，如果
和
是量子系统的两个状态，那么它们的任意叠加α
也是量子系统一个可能的状态，其中
。对于复合系统，如果
是系统A的一个状态，
是系统B的一个状态，则联合系统AB的状态可以写为
即A与B的张量积。