2.1　运动特性

弹道导弹飞行过程不同阶段所呈现的不同运动特征对目标跟踪性能有较大影响，本节分析不同飞行段的具体特征，说明弹道导弹目标跟踪需要研究的特殊性问题。

2.1.1　动力学模型

弹道导弹飞行过程包括主动段、中段、再入段三个阶段。每个阶段受力复杂且动力学模型完全不同，很难用一个统一的模型来描述。因此，需要针对弹道导弹在各个飞行阶段的不同受力情况，分别进行建模、讨论。

从跟踪滤波的角度分析导弹动力学模型 ^[1] ，在飞行过程中，主要的作用力包括推进力 F _T 、空气动力 F _A （大气阻力 F _D 和可能的升力 F _L ）和地球引力 F _G ，在不同飞行阶段，各种力作用的程度并不一样，不同的受力导致导弹运动形式和轨迹存在一些差异。

导弹在飞行过程中，总的加速度可表示如下：

（2.1）

式中， a _T 是推进力加速度； a _D 和 a _L 是空气动力加速度； a _G 是地球引力加速度。

导弹受地球引力产生的加速度向量a _G 为：

（2.2）

式中， P 为目标在地心坐标系下的位置向量；p为向量 P 的模，表示目标到地心的距离；μ为地球引力常数；r _e 为地球赤道半径；J ₂ 为地球带谐系数； u _Z 是沿Z轴方向上的单位向量。

导弹受大气阻力产生的加速度向量 a _D 为

（2.3）

式中，α为导弹的阻力系数；ρ（h）为所处高度的大气密度； V _r 为目标相对于大气的相对速度矢量；v _r 为标量速度； a _D 为升力所产生的加速度，垂直于速度方向。

导弹受火箭推力产生的加速度向量 a _T 为：

（2.4）

式中，T（t）为火箭推力的大小；m（t）为弹体的质量； u _T 为推力的方向。

在主动段，火箭推力会随着火箭燃烧的进度而发生变化，随着燃料消耗、火箭箭体分离、整流罩等部件分离，火箭质量也会逐渐减小。

根据牛顿定律可知，不同力的作用会形成不同的加速度，进而导致速度出现变化。虽然不同类型和弹道形式的弹道导弹，其飞行轨迹、速度和加速度的具体数值差异较大，但总体的变化规律具有一致性，其整个飞行过程均可分为主动段、中段和再入段。为便于理解，图2.1给出了导弹在飞行过程中不同阶段的空间速度随着时间的变化关系。

明确了作用力的变化情况，就不难分析被动段（中段和再入段）切向加速度和速度的变化规律 ^[2] 。在被动段的升弧段，由于空气阻力和地球引力的切向分量与速度方向相反，所以切向加速度为负值。又因为速度不断减小，而飞行高度又不断增加，空气密度越来越稀薄，因而阻力不断下降。另外，由于速度倾角也不断减小，使得引力的切向分量在减小，总的结果使得绝对值不断减小。在弹道顶点，由于空气阻力垂直于地球引力，且不等于零，故切向加速度也不等于零（即不为最小值）。当导弹飞行至过顶点后的降弧段，地球引力的切向分量与速度方向相同，而与阻力方向相反。开始时由于阻力很小，故导弹沿降弧段飞行一小段后，就会使引力的切向分量与阻力平衡，出现切向加速度等于零的情形，此时速度最小。以后由于引力的作用较阻力大，加速度则变为正值，并逐渐增大，速度也相应地增大。随着导弹飞行高度的降低，空气密度逐渐增大，空气阻力也在增大，因而促使切向加速度减小。当空气阻力与地球引力的切向分量再次相等时，切向加速度又变为零，此时速度达到最大值。进入再入段后，随着飞行高度的急剧下降和空气密度的急骤增加，空气阻力也相应地增加很快，因而加速度增大，速度迅速减小。当空气阻力达到最大值时，切向加速度为最小。以后因速度减小，阻力也减小，同时也因速度倾角的绝对值增大，引力的切向分量增大，故加速度又有所回升，但仍为负值。

2.1.2　目标运动特性

下面分主动段、中段和再入段分别阐述弹道导弹目标运动特性。

1. 主动段运动特性

导弹飞行的主动段以导弹离开发射架作为起点，以助推器最后一级火箭与有效载荷分离为终点。远程弹道导弹助推段时间3～6 min ，战术弹道导弹约2 min 。

导弹在主动段飞行的一段时间内，由于发动机推力在较短时间内迅速达到额定值，此时的空气阻力对切向加速度的影响也不大，因此切向加速度随着推力的急剧增大而增大。随后，在发动机高度特性的影响下，推力缓慢增加；地球引力的切向分量随着导弹质量和弹道倾角的不断减小也逐渐减小；而空气阻力虽然随着飞行速度的增大在一段时间内是增加的，但与其他作用力相比，它不起主要作用，且在以后的一段时间内，又因空气密度随飞行高度的增高而急剧下降的缘故，空气阻力又迅速减小，而主动段的导弹切向加速度一直是增加的。

以某战术导弹的弹道为例，图2.2给出了在地球坐标系下绘制的主动段弹道曲线及分量加速度曲线。由图2.2（ b ）可见，在主动段，导弹各分量加速度随时间显著增加，表明导弹持续存在较大的外力作用。对于主动段弹道，由于目标受力复杂，不管是在地球中心坐标系，还是雷达观测坐标系下分析，由于外力作用，导致各分量的加速度均在变化，而不同导弹因为火箭推力不同，助推时间不同，其运动特性难以用一套通用的模型来建模，常需采用多模型交互方式，以适应可能存在的机动。

2. 中段（自由飞行）运动特性

中间飞行段（简称中段）主要是指弹道导弹助推火箭关闭发动机后，导弹在大气层外飞行的过程。典型远程弹道导弹的中段飞行时间为15～20 min ，是整个弹道中最长的阶段。

在导弹飞行中段，空气阻力方向始终与导弹速度方向相反，起着阻止导弹运动的作用。而地球引力，在头体分离点至弹道最高点间的升弧段上，其切向分量的方向与空气阻力方向一致（即与速度方向相反），因而起着阻止导弹作加速运动的作用；但在弹道最高点至落地点间的降弧段上，因其切向分量与速度方向相同，因而起着加速导弹运动的作用。

在中段的升弧段，由于空气阻力和地球引力的切向分量与速度方向相反，所以切向加速度为负值。又因为速度不断减小，而飞行高度又不断增加，空气密度越来越稀薄，因而阻力不断下降。另外，由于速度倾角也不断减小，使得引力的切向分量在不断减小，总的结果使得绝对值不断减小。在弹道顶点，空气稀薄，阻力较小，地球引力垂直于速度方向，速度达到最小值。当导弹飞行至过顶点后的降弧段时，地球引力的切向分量与速度方向相同，而与阻力方向相反。开始时由于阻力很小，故导弹沿降弧段飞行一小段时就会使引力的切向分量与阻力平衡，出现切向加速度等于零的情形。由于中段引力的作用较阻力大，加速度仍然为正值，并逐渐增大，速度也相应地增大。图2.3给出了在地球坐标系下某战术导弹中段的弹道曲线及分量加速度曲线。由图2.3（ b ）可见，在导弹飞行中段，导弹各方向加速度分量随时间基本没有变化，表明导弹受地球引力作用的大小变化较小。该过程的作用力主要是地球引力和空气阻力，都是可以准确建模的因素。

3. 再入段运动特性

再入段是指弹头及其伴飞物进入大气层向既定打击目标飞行的阶段，再入段又称末段，持续时间一般为60～90 s 。在再入段，由于大气阻力的作用，目标群中伴随弹头飞行的碎片、轻质诱饵、箔条等会因摩擦产生的高温而被烧毁或降低速度而被大气过滤掉，这个现象称为大气过滤。经过大气过滤之后，只有少数专门设计的重诱饵呈现出类似弹头的运动轨迹，弹道目标及重诱饵再入大气层时和大气分子发生复杂的相互作用，运动过程呈现高度非线性特性 ^[3] 。

再入过程中，随着导弹飞行高度的降低，空气密度逐渐增大，空气阻力也在增大，因而促使切向加速度减小。当空气阻力与地球引力的切向分量再次相等时，则切向加速度又为零，此时的速度达到最大值。随着飞行高度的急剧下降和空气密度的急骤增加，空气阻力也相应地增加很快，速度迅速减小。图2.4给出了地球坐标系下某战术导弹再入段的弹道曲线及分量加速度曲线。由图2.4（ b ）可见，在导弹再入飞行阶段，导弹各加速度分量随时间显著增加，表明导弹运动过程受大气阻力作用后呈现出复杂变化。该过程大气的作用效应逐渐增大，对大气摄动的精确建模，有利于提高再入段的跟踪精度。

2.1.3　跟踪滤波特性分析

对导弹运动过程的建模准确度极大地影响着滤波性能。目标的运动状态序列一般可描述为离散状态马尔科夫过程，通过离散时刻对部分观测值的测量，达到对目标状态的最优估值。

雷达目标跟踪的常用模型有常加速度模型和若干机动模型，根据机动加速度建模方式的不同，常见的有 Singer 模型、 Jerk 模型、当前统计模型和转弯模型等 ^[4,5] 。所谓“机动”，一般理解为目标实际运动过程在一段时间内较大程度偏离了运动模型所描述的过程。机动模型在常加速度模型的基础上，对加速度变量以随机过程的方式进行建模，并根据误差协方差矩阵的变化自动更新过程噪声矩阵和增益矩阵，达到对机动过程中的运动状态的最优估值，从而抑制目标测量中的随机噪声。对导弹而言，这样可以实现较高的位置和速度滤波精度。

对某射程约600 km 的战术弹道导弹的主动段、中段和再入段弹道的观测数据，分别采用常加速度（ CA ）模型和“当前”统计（ CS ）模型进行了跟踪滤波仿真实验。假设某雷达具备的测量精度分别为距离20 m （均方根值），方位、仰角0.03°（均方根值），观测数据率为1 Hz 。对该导弹主动段飞行数据在雷达观测坐标系下进行了仿真实验，误差统计情况如图2.5所示。

雷达观测下的导弹主动段由于存在火箭推力，呈现出较大的机动特性。图2.5展示了采用常加速度（ CA ）模型、“当前”统计（ CS ）模型的仿真实验结果，距离滤波误差为19 m ，方位角误差约为0.02°，俯仰角误差大于0.026°，滤波误差较大。

对该导弹中段飞行数据在雷达观测坐标系下进行了仿真实验，如图2.6所示。

导弹在中段飞行时，主要受地球引力作用，运动过程比较平稳，但由于目标跨过了较大的方位范围，引起了目标在方位上呈现较大的机动特性，统计误差大于0.026°，但距离统计误差降低到约17 m 以下，俯仰角误差约为0.025°。

对该战术弹道导弹再入段飞行数据在雷达观测坐标系下进行了仿真实验，如图2.7所示。

由于再入机动和大气摄动的影响，导弹再入大气过程中具有较大的机动加速度，加速度的变化呈现出较强的非线性关系，即使采用“当前”统计模型，对距离、角度随机误差的抑制作用也非常小，滤波效果非常有限。

采用常加速度模型、“当前”统计模型，都是假设在雷达两次照射到目标之间，目标运动的加速度服从某种分布，实际上，在弹道的各个阶段，加速度实时在变化，而且前后时刻加速度是关联的，为非独立随机变量，其随机过程也难以准确建模。从前述仿真结果也可以看出，在主动段和中段， CA 模型滤波后的均方根误差要小于 CS 模型，但在再入段， CS 模型的效果要略好于 CA 模型，对全弹道而言，滤波后的均方根误差相对所假设的测量均方根误差减小并不明显，即常规的机动模型对于弹道滤波提高的精度有限。弹道导弹具有高速、高机动的特点，它在主动段、中段和再入段由于受力不同，在运动特性上有较大差别。导弹所具有的这些特性对其运动过程的建模提出了更高的要求。

为了适应反导系统对导弹跟踪测量精度更高的要求，需要设计专门针对弹道导弹运动特性的运动模型。以地球中心坐标系为参照，考虑导弹受地球引力和大气阻力的共同作用，导弹受地球引力大小与目标所处的位置有关，导弹所受大气阻力与目标的位置和速度均有关，建立这些因素在以目标位置和速度为状态向量的空间上的运动模型，可准确刻画导弹在雷达两次波束照射之间的运动过程，降低由于观测坐标、建模不准确而导致的模型偏差，可以实现更高的滤波精度。

在相同测量精度、采样数据率的情况下，采用耦合地球引力、大气阻力的运动模型建模导弹在中段和再入段的运动过程，并利用扩展卡尔曼滤波技术，图2.8给出了该战术弹道导弹弹道观测数据进行滤波的误差分布曲线。此时，距离均方根误差约6 m ，角度均方根误差约0.08°。相比常用的机动模型可以获取更高的滤波精度，对于精度要求极高的反导预警雷达而言具有重要作用，本书第5章5.1节将详细介绍该模型和滤波器原理。