实际生活中，事物的组织结构相当复杂，人们受所掌握知识的限制，只能把握到研究对象的很少一部分信息所呈现出来的某种状态。灰色系统（Grey System）指的就是这种部分信息已知而部分信息未知的系统 ^[8] 。

2.2.1 关联度分析方法的基本理论

灰色关联分析法是一种基于系统态势发展量化的分析方法 ^[9] ，它通过对数据序列的几何关系和物理形状进行分析比较，采用两者之间相似程度的大小作为一种衡量标准。相似程度越高，那么两数据序列的物理形状越相近；反之，则越不相近。

1. 灰色关联分析公理

设 X ₀ =（x ₀ （1），x ₀ （2），…，x ₀ （m））为系统特征序列，且记

为相关因素序列。给定实数γ（x ₀ （k），x _i （k））且 X ={ X _s | s=0，1，2，…，n，n≤2}，若实数 满足以下4点：

（1）规范性：0≤γ（ X ₀ ， X _i ）≤1，γ（ X ₀ ， X _i ）=1⇒ X ₀ = X _i 。

（2）整体性：对于 X _i ， X _j ∈X，有γ（ X _i ， X _j ）≠γ（ X _i ， X _j ），i≠ j。

（3）对偶性：对于 X _i ， X _j ∈X，有γ（ X _i ， X _j ）=γ（ X _j ， X _i ）⇔X={ X _i ， X _j }。

（4）接近性：x ₀ （k）-x _i （k） 越小，γ（x ₀ （k），x _i （k））越大。

则称γ（ X ₀ ， X _i ）为 X ₀ 与 X _i 的灰色关联度，γ（x ₀ （k），x _i （k））为 X ₀ 与 X _i 在k点的关联系数，而规范性、整体性、对偶性和接近性4个条件就被称为灰色关联的4条公理[10]。

由上面的公理可知：

（1）规范性表明，对于系统中的两个任意指标序列，是不可能完全没有关联的，而对于每个指标自身而言，又是完全关联的；

（2）整体性表明，在不同的环境作用下，个体的关联度也是不同的；

（3）对偶性表明，当且仅当系统中只有两个指标序列时，它俩是对称的；

（4）接近性则是一种量化条件，用于约束关联度。

2.灰色关联分析方法的评价步骤

（1）建立评价指标体系，并收集实验数据[11]。

式中，m为指标个数，n为评价人数， X _i =（x _i （1），x _i （2），…，x _i （n）） ^T 。

（2）确定参考数据列。作为一个比较基准，它与实际问题相关联，参考序列可以选取各指标序列的最优值（或最劣值），记作 X ₀ =（x ₀ （1），x ₀ （2），…，x ₀ （n）） ^T 。

（3）依次计算对象的各指标列与已确定好的参考序列 X ₀ 的绝对差值，即计算x ₀ （k）-x _i （k） （k=1，…，m；i=1，…，n）。

（4）计算 和 的值。

（5）计算关联系数。由式（2.3）计算数据序列中每一属性相对于比较序列的关联系数。

其中，ρ∈（0，1）为分辨系数。如果{x ₀ （k）}为最优值数据列，ζ _i （k）越大越好；反之若{x ₀ （k）}为最劣值数据列，ζ _i （k）越小越好。

（6）计算关联度。按式（2.4）计算相对于参考序列的各数据序列的关联度r _i ，

（7）将步骤（6）得到的结果进行排序，依据关联度得出整体综合的评价结果。

2.2.2 两阶段数据预处理算法流程

首先求得数据集的灰色关联度，对属性集进行第一次择优，选取满足预设阈值的属性集；然后使用粗糙集进行第二次择优 ^[12、13] 。先要对属性集进行数据离散化，求出其差别矩阵，然后将其中的单个元素，即核属性赋予到变量Core中；接着按一定规则更新差别矩阵，将不可分辨的属性元素扩充到约简属性集Red中，最后得到的就是二次约简结果 ^[14、15] 。

输入：实验数据data和信息系统S=（U，A，V，f）。

输出：Red，是一个属性约简结果。

（1）输入实验数据data，求其灰色关联度，进行第一阶段属性择优；

（2）计算属性集的差别矩阵；

（3）求出差别矩阵中所有单个元素，并将其赋予变量Core；

（4）将差别矩阵中所有与核有交集的项删除，并更新差别矩阵；

（5）令 Red=Core，若 IND（Red）=IND（A），转到步骤（7），否则继续顺序执行；

（6）在新的差别矩阵中找到出现次数最多的元素a，令Red⇐ Red （ Y { a }） ；

（7）若IND（Red）≠IND（A），将差别矩阵中所有与a有交集的项删除，并更新差别矩阵，转到步骤（5）；

（8）算法结束，输出Red。

二阶段数据预处理算法的流程图如图2-1所示 ^[16] 。

2.2.3 算法有效性验证

为验证上述二阶段数据预处理算法的有效性，本章采用MATLAB编程，以气象状况的数据实例作为验证对象，采用本章算法进行约简运算。

数据如表2-1所示，论域U={1，2，…，8}，C={a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ，a ₄ ，a ₅ ，a ₆ }是条件属性集，D={d=a ₇ }是决策属性集，其中，a ₁ 为Weather，a ₂ 为Temperature，a ₃ 为Humidity，a ₄ 为Wind，a ₅ 为Dust，a ₆ 为Pollution index，a ₇ 为决策属性。

对于多决策属性的情况，可通过转换成单个决策属性来分步累加计算。为了简化实验，本章仅验证具有单一决策属性的情况。

第一步，按照自定义格式，将数据结果离散化，转成数字，如表2-2所示。

第二步，使用MATLAB编程，计算各属性的灰色关联度，结果如表2-3所示。

由表2-3可知，经排序，灰色关联度最低的属性不满足预设阈值被约简掉，即Humidity（a ₃ ）和Dust（a ₅ ）被去掉。

第三步，使用MATLAB编程，通过区分矩阵求出属性核，结果如表2-4所示。

由表2-4可知，区分矩阵求出的属性核为Core={a ₁ ，a ₄ }。

通过MATLAB编程实验，验证基于灰色粗糙集的二阶段数据预处理算法是行之有效的。 Ki6Fi38Nx+jtlSlUdW1xcNGvZhluk8+ExzV8JnnKrajXRbH192bp0TOk/ht6aT8p