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1.4 不等式

1.4.1 概念与基本性质

1.不等式概念

(1)概念:用“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”联系的两个代数式所组成的式子称为不等式。

(2)“>”读作大于,“<”读作小于,“≥”读作大于等于,也可读作不小于,“≤”读作小于等于,也可读作不大于。

(3)不等式有两种:一种不含有未知数,仅表示两个数的数量关系的不等式,例如,5>3、π<4、8+4>7-3等;另一种是含有未知数的不等式,例如,x+4>7、5<2-x、3+x≤4-x等。

2.不等式基本性质

(1)对称性:a>b,即b<a。

(2)传递性:a>b,b>c,即a>c。

(3)可加性:不等式两边加上(减去)同一个数,不等号的方向不变,如a>b则a±c>b±c。

(4)不等式两边同乘以(除以)同一个正数,不等号的方向不变,如a>b,c>0则ac>bc。

(5)不等式两边同乘以(除以)同一个负数,不等号的方向要改变,如a>b,c<0则ac<bc。

3.不等式的解集

(1)含有未知数的不等式,能使不等式成立的未知数的解称为不等式的解,不等式所有的解的集合称为这个不等式的解集。

(2)求不等式的解集的过程称为解不等式。

(3)不等式的解集在数轴上的表示。

在1.1.2节中,曾分析了数在数轴上的表示及区间概念在数轴上的图示。同样,不等式的解集在数轴上也可以非常形象地表示出来。图1-7表示了各种不等式解集在数轴上的图示。图中实心圆与空心圆含义与前面相同。

图1-7 不等式解集在数轴上的图示

【例25】 用不等式表示:

(1)a是负数。

(2)a的1/2与4的和是正数。

(3)x的2倍的相反数与y的倒数的和大于1。

(4)7与x差的1/3不大于0。

解: (1)a<0    (2)

【例26】 若a>0,b<0,c<0,试分析(a-b)c与0的关系。

解: 因为

a>0,b<0

所以

a-b>0

又因为

c<0

所以

(a-b)c<0

【1.4.1练习题】

1.用不等式表示:

(1)a的4倍与5的差是正数;

(2)a与b的和是非负数;

(3)x的3/5与12的差不小于b。

2.用不等号填空,若a<b,则

(1)a-4____b-4    (2)3a____3b

(3) (4)ac 2 ____bc 2 (c为有理数)

3.试在数轴上表示下列不等式的解集。

(1)x≥8   (2)0≤x≤4   (3)x<-6

1.4.2 一元一次不等式

1.概念

一元一次不等式是指只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0的不等式。一元一次不等式的标准形式为 ax+b<0或ax+b>0(a≠0)。

2.不等式的移项

(1)不等式两边可以进行加减移项。从一边移到不等式的另一边,其符号要改变(正变负,负变正),不等式符号不变。

(2)不等式两边也可以进行上下移项,当不等式两边以分式形式存在时,一边的分子移到另一边变为分母,而分母则变为分子。但必须注意,如系数为正,则不等式符号不变,如系数为负,则同时改变不等式符号方向。

3.一元一次不等式的解

解一元一次不等式和解一元一次方程类似,不同的是,方程的解只有一个,而不等式的解是一个解集。

【例27】 解不等式

解: 去分母 3(2x-1)-4(x-2)≤2(4x+3)-12

去括号 6x-3-4x+8≤8x+6-12

移项 6x-4x-8x≤6-12+3-8

-6x≤-11

两边除以-6,得

【例28】 x取任何值时,代数式 的值不大于2。

解: 由题意知

3(2x-3)-4(x+4)≤24

2x≤49

最后得

【1.4.2练习题】

1.解不等式:3(x-2)-4(1-x)<1。

2.解不等式: ,并将解集在数轴上图示。

1.4.3 一元一次不等式组

1.概念

几个含有相同未知数的一元一次方程不等式合在一起,就组成了一元一次不等式组。

2.求不等式组的解集

(1)先求出不等式组中每一个不等式的解集。

(2)在数轴上标出每个解集的图示。

(3)所有不等式解集的公共部分为该不等式组的解集。如果所有不等式的解集没有公共部分,则这个不等式组无解(公共部分必须包含不等式组中每一个不等式的解)。

【例29】 解不等式组。

解: 分别解不等式组中各个不等式,有

在数轴上每个解集的图示如图1-8所示。可见其公共部分为

-2≤x<1

则不等式组解集为-2≤x<1。

图1-8 例29图解

【例30】 解不等式组,并在数轴上图示其解集。

解: (1)解不等式(1),有

x 3 -x≤x 3 -1

-x≤-1

x≥1

(2)解不等式(2),有

3-x>2x-12

-3x>-15

x<5

(3)由图1-9所示数轴可知,不等式组的解集为

1≤x<5

图1-9 例30图解

【1.4.3练习题】

1.解不等式组

2.解不等式组,并在数轴上图示其解集。 PILoEre6O7pUL8+upgIaLL3EfWjkjHnOByBoNJz5dQVbUO0pLCkULO/F+sXJphB4

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