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（1）概念：用“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”联系的两个代数式所组成的式子称为不等式。
（2）“>”读作大于，“<”读作小于，“≥”读作大于等于，也可读作不小于，“≤”读作小于等于，也可读作不大于。
（3）不等式有两种：一种不含有未知数，仅表示两个数的数量关系的不等式，例如，5>3、π<4、8+4>7-3等；另一种是含有未知数的不等式，例如，x+4>7、5<2-x、3+x≤4-x等。
（1）对称性：a>b，即b<a。
（2）传递性：a>b，b>c，即a>c。
（3）可加性：不等式两边加上（减去）同一个数，不等号的方向不变，如a>b则a±c>b±c。
（4）不等式两边同乘以（除以）同一个正数，不等号的方向不变，如a>b，c>0则ac>bc。
（5）不等式两边同乘以（除以）同一个负数，不等号的方向要改变，如a>b，c<0则ac<bc。
（1）含有未知数的不等式，能使不等式成立的未知数的解称为不等式的解，不等式所有的解的集合称为这个不等式的解集。
（2）求不等式的解集的过程称为解不等式。
（3）不等式的解集在数轴上的表示。
在1.1.2节中，曾分析了数在数轴上的表示及区间概念在数轴上的图示。同样，不等式的解集在数轴上也可以非常形象地表示出来。图1-7表示了各种不等式解集在数轴上的图示。图中实心圆与空心圆含义与前面相同。
图1-7 不等式解集在数轴上的图示
【例25】 用不等式表示：
（1）a是负数。
（2）a的1/2与4的和是正数。
（3）x的2倍的相反数与y的倒数的和大于1。
（4）7与x差的1/3不大于0。
解：
（1）a＜0 （2）
【例26】 若a>0，b<0，c<0，试分析（a-b）c与0的关系。
解： 因为
a>0，b<0
所以
a-b>0
又因为
c<0
所以
（a-b）c<0
1.用不等式表示：
（1）a的4倍与5的差是正数；
（2）a与b的和是非负数；
（3）x的3/5与12的差不小于b。
2.用不等号填空，若a<b，则
（1）a-4____b-4 （2）3a____3b
（3）
（4）ac
2
____bc
2
（c为有理数）
3.试在数轴上表示下列不等式的解集。
（1）x≥8 （2）0≤x≤4 （3）x<-6
一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式。一元一次不等式的标准形式为 ax+b<0或ax+b>0（a≠0）。
（1）不等式两边可以进行加减移项。从一边移到不等式的另一边，其符号要改变（正变负，负变正），不等式符号不变。
（2）不等式两边也可以进行上下移项，当不等式两边以分式形式存在时，一边的分子移到另一边变为分母，而分母则变为分子。但必须注意，如系数为正，则不等式符号不变，如系数为负，则同时改变不等式符号方向。
解一元一次不等式和解一元一次方程类似，不同的是，方程的解只有一个，而不等式的解是一个解集。
【例27】 解不等式
解： 去分母 3（2x-1）-4（x-2）≤2（4x+3）-12
去括号 6x-3-4x+8≤8x+6-12
移项 6x-4x-8x≤6-12+3-8
-6x≤-11
两边除以-6，得
【例28】
x取任何值时，代数式
的值不大于2。
解： 由题意知
得
3（2x-3）-4（x+4）≤24
2x≤49
最后得
1.解不等式：3（x-2）-4（1-x）<1。
2.解不等式：
，并将解集在数轴上图示。
几个含有相同未知数的一元一次方程不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集。
（2）在数轴上标出每个解集的图示。
（3）所有不等式解集的公共部分为该不等式组的解集。如果所有不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解（公共部分必须包含不等式组中每一个不等式的解）。
【例29】 解不等式组。
解： 分别解不等式组中各个不等式，有
在数轴上每个解集的图示如图1-8所示。可见其公共部分为
-2≤x<1
则不等式组解集为-2≤x<1。
图1-8 例29图解
【例30】 解不等式组，并在数轴上图示其解集。
解： （1）解不等式（1），有
x 3 -x≤x 3 -1
-x≤-1
x≥1
（2）解不等式（2），有
3-x>2x-12
-3x>-15
x<5
（3）由图1-9所示数轴可知，不等式组的解集为
1≤x<5
图1-9 例30图解
1.解不等式组
2.解不等式组，并在数轴上图示其解集。
