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1.2 代数式

1.2.1 代数式简介

1.代数式和代数式的值

(1)代数的基本含义是用字母来代表数、代表式。

(2)代数式:用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子,称为代数式。实数的运算规律也适用于代数式。单独的一个数或字母也是代数式。

(3)代数式的值:能用具体的数值代替代数式中的字母,按照代数式指明的计算,计算出的结果称为代数式的值。

2.列代数式和公式

(1)列代数式:把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来,称为列代数式。

(2)公式:用等号连接起来的两个代数式,实际意义是表示物理量之间关系或数学运算关系的式子。

3.代数式分类

(1)代数式分类如下:

(2)单项式和多项式统称整式。

(3)分式:如果A、B为整式,B中含有字母,式子A/B称为分式。

【例3】 说出下列代数式的意义。

(1)a(b+1)

(2)

解: (1)a乘以b与1的和的积。

(2)a与b之和的倒数。

【例4】 当a=0, ,a=0.6时,求代数式2a 2 -a+1的值。

解: (1)a=0时,有

2a 2 -a+1=2×0-0+1=1

(2) 时,有

(3)a=0.6 时,有

2a 2 -a+1=2×(0.6) 2 -0.6+1=1.12

【1.2.1练习题】

1.判断下列各式哪些是代数式,哪些不是代数式。

(1)x+y

(2)3(a+b)

(3)

(4)5+3+2

(5)0(6)a+b=x+y

2.求代数式8a 3 -3a 2 +2a+4的值。

(1)a=0

(2)

(3)a=-1

3.用代数式表示:

(1)比x大5的数与比y少8的数的和。

(2)两个数a、b的平方和与这两个数积的差的倒数。

(3)每件上衣售价a元,降价10%后的售价。

4.一个长方形纸箱,它的长是a,宽是b,高也是b,试写出这个纸箱的体积公式。

1.2.2 整式的加减

1.单项式

(1)单项式:不含加法或减法运算,都是数字与字母的积,这样的整式称为单项式。

(2)单项式系数:单项式中的数字因数(包括前面的符号)。

(3)单项式次数:单项式中所有字母的指数的和。

【例5】 指出下列各单项式的系数和次数。

解: (1)-x,系数-1,次数1。

(2) ,系数 ,次数4。

2.多项式

(1)多项式:多个单项式的代数和。

(2)多项式的项:多项式中每一个单项式称为多项式的一项,有几个单项式称为几项式。多项式中不含有字母的项称为常数项。

(3)多项式的次:多项式中,次数最高的单项式的次数是多项式的次。

(4)多项式排列:

① 降幂排列,即把一个多项式按其中某一个字母的指数由高到低的顺序排列。

② 升幂排列,即把一个多项式按其中某一个字母的指数由低到高的顺序排列。

【例6】 指出多项式6a-5a 2 b 2 -8a 4 b 3 -b 3 +5是几次几项式,其常数项是多少?并按字母a降幂顺序重新排列。

解: 多项式为七次五项式,常数项为5。

降幂排列为

-8a 4 b 3 -5a 2 b 2 +6a-b 3 +5

3.合并同类项

(1)同类项:多项式中所含字母相同且相同字母的指数分布对应相等的项。

(2)合并同类项:多项式中,凡同类项均可进行合并,合并的法则是系数与系数相加作为新的系数,字母和字母的指数不变。

(3)去括号和添括号:括号前面去掉(或添上)“+”号,括号内各项符号不变;括号前面去掉(或添上)“-”号,括号内各项都变号(正变负,负变正)。

【例7】 判断下列两个单项式是不是同类项。

(1)3x 4 y和3xy 2

(2)mn和-4nm

(3)-a 2 和b 2 a

(4)8与8b

解: (1)3x 4 y和3xy 2 不是同类项。

(2)mn和-4nm是同类项。

(3)-a 2 和b 2 a不是同类项。

(4)8和8b不是同类项。

【例8】 合并同类项。

(1)x 4 -x+x 2 +3+x 3 -3x 2 +1

(2)5ab-4a 2 b 2 -8ab 2 +3ab-ab 2 -4a 2 b 2

解: (1)x 4 -x+x 2 +3+x 3 -3x 2 +1

=x 4 +x 3 -2x 2 -x+4

(2)5ab-4a 2 b 2 -8a b 2 +3ab-ab 2 -4a 2 b 2

=8ab-8a 2 b 2 -9a b 2

【例9】 对多项式4a–(3a-5b-7c)+3(-2c+5b)去括号。

解: 4a-(3a-5b-7c)+3(-2c+5b)

=4a-3a+5b+7c-6c+15b

=a+20b+c

4.整式的加减

(1)整式的加减运算实际上就是合并同类项。

(2)运算的步骤是先去括号,再合并同类项。整式的加减结果仍为整式。

【例10】 计算。

(1)(-x 3 -3x 2 +7x-8)-(4x 2 -7x+16)-4(2 x 2 +9)

(2)3x 2 y+{xy-[3x 2 y-(4xy 2 +xy)]-4xy 2 }

解: (1)原式=-x 3 -3x 2 +7x-8-4x 2 +7x-16-

8x 2 -3=-x 3 -15 x 2 +14x-44

(2)原式=3x 2 y+[xy-(3x 2 y-4xy 2 -xy)-4xy 2 ]

=3x 2 y+(xy-3x 2 y+4xy 2 +xy-4xy 2

=3x 2 y+xy-3x 2 y+4 xy 2 +xy-4xy 2

=2xy

【1.2.2练习题】

1.化简。

(1)(3a+5b)-(5a-7b)-(2a-4b)

(2)(x 3 -3x 2 y+3xy 2 -y 3 )-(x 3 +3 x 2 y+3xy 2 +y 3

2.计算。

(1)A=-x 2 +2x y-y 2 ,B=xy-3x 2 ,C=2y 2 -xy,求 A-2B+3C。

(2)5a+(-2a)-[3×(a-1)-4(2a+1)],求a=-1的值。

1.2.3 整式的乘法

1.同底数幂运算法则

a m a n =a m+n

a m ÷a n =a m-n

(a m n =a mn

(ab) n =a n b n

2.单项式的乘法

(1)积的系数为各个因式系数的积。

(2)相同字母相乘,按同底数幂的运算法则进行合并。

(3)保留仅在一个单项式中出现的因式。

3.单项式与多项式相乘

(1)法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,变成单项式的乘法。

(2)对乘积进行合并同类项整理。

4.多项式与多项式相乘

(1)法则:用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。

(2)对乘积进行合并同类项整理。

5.常用乘法公式

(a+b)(a-b)=a 2 -b 2

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

(a+b)(a 2 -ab+b 2 )=a 3 +b 3

(a-b)(a 2 +ab+b 2 )=a 3 -b 3

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

(a-b) 3 =a 2 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

【例11】 化简。

【例12】 化简。

解: 原式=x 3 y+3x 2 y 2 -5 x 3 y+5x 2 y 2

=-4x 3 y+8x 2 y 2

【例13】 化简(2a+3)·(2a-5)。

解: 原式=4a 2 -10a+6a-15=4a 2 -4a-15

【1.2.3练习题】

1.计算。

(1)a 3 · a 2 · a 4 +(-a 2 4 +(-2a 4 2

(2)2(x 2 3 · x 3 -(2x 3 3 +(4x) 2 · x 7

2.计算。

(1)x(y-x)-y(x-y)

3.计算。

(1)(3x 4 -3x 2 )·(x 4 +x 2 -2)

(2)(x-1)·(x+1)·(x 2 +1) KXTQn9gzllcpRVxraZ1nAO7u6e1ngevi99nGV5v0GtEJ8LHnjAXX9IREmsKIAEm7

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