1.1 实数及其运算

1.1.1 实数的概念和有理数的运算法则

1.实数的概念

（1）自然数：0，1，2，3，4，？称为自然数。

（2）有理数：整数和分数统称有理数，即正、负整数，分数和零统称有理数。

（3）无理数：无限不循环小数称为无理数，如 、 、p等。

（4）实数：有理数和无理数的集合统称实数，即

（5）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。

（6）相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。

（7）绝对值：正数与零的绝对值是其本身，负数的绝对值等于它的相反数，记作︱a︱，即

（8）区间：介于a和b两数之间的所有实数的全体（a≤b）称为区间。若包括端点在内的，称为闭区间；不包括端点在内的，称为开区间；只包括一个端点在内的，称为半开半闭区间。区间的表示：闭区间为[a，b]，开区间为（a，b），半开半闭区间为[a，b）或（a，b]。

2.有理数的运算法则和定律

（1）加（减）法运算法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③相反数的和为零；④一个数与零相加，仍得这个数；⑤两数相减，减去一个数，等于加上它的相反数，即a-b=a+（-b）。

（2）乘法运算法则：①几个实数相乘，有一个因数是零，则积等于零；②如果没有零因数，则负因数的个数为偶数时积取正号，负因数的个数为奇数时积取负号，并把各因数的绝对值相乘。

（3）除法运算法则：①0不能做除数；②若除数不为0，则除以一个数等于乘上这个数的倒数，其符号与乘法相同，即b≠0，则a÷b=a×1/b；③0除以任何一个不为0的数，都为0。

（4）乘方：相同因数相乘称为乘方，其积称为幂。乘方是乘法的特例。负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数。

（5）开方：求一个实数方根的运算称为开方，结果为方根。开方是乘方的逆运算。在实数中，负数没有偶次方根，所以开方运算的结果不一定仍是实数。

（6）交换律、结合律及分配律：

交换律a+b=b+a，a×b=b×a；

结合律a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c），a×b×c=（a×b）×c=a×（b×c）；

分配律（a+b）×c=a×c+b×c。

（7）乘方的运算定律：

a ^m a ⁿ =a ^{（m + n）} ；

（a ^m ） ⁿ =a ^m×n ；

（a×b） ^m =a ^m ×b ^m ；

a ^m ÷a ⁿ =a ^（m-n） 。

（8）有理数的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，则先算括号内的。同级运算中，从左到右按顺序算。

（9）近似数与有效数字：

① 近似数。近似地表示某一个量的值的数称为近似数。一个近似数四舍五入到哪一位，这个近似数就精确到哪一位。

② 有效数字。由四舍五入得到的近似数，精确到某一位，那么，从左面第一个不是零的数字起，到这一位数字止，所有的数都称为这个数的有效数字。

【例1】 计算下列各式：

（4）原式=（1-0.04）×1=0.06

【例2】 用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似值。

（1）0.32049（精确到千分位）；

（2）3.49499（精确到0.01）；

（3）4539（保留一位有效数字）；

（4）0.003195（保留两位有效数字）。

解： （1）0.32049≈0.320

（2）3.49499≈3.49

（3）4539≈5×103

（4）0.003 195≈3.2×10 ^-3

【1.1.1练习题】

1.计算：

2.下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位，各有几位有效数字？

（1）0.00430

（2）250万

（3）0.0043

（4）3.10×10 ⁴

1.1.2 数轴及其在电路分析中的应用

1.数轴

（1）数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，如图1-1所示。

（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。

（3）有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。

2.实数的概念及其在数轴上的表示

（1）正数和负数：在数轴上，正数是指从原点往正方向的数，而负数则是从原点往正方向相反方向上的数（也称反方向）。在实际生活中，常常用正数和负数表示具有相反意义的量。例如，收入500元记作+500元（正号+可省略），支出200元记作-200元（负号不能省略）；向东走5km，如果向西走5km，则记作-5km等。

（2）相反数：在数轴上，表示互为相反数是指与原点距离相等的两个数，如图1-1中的5和-5。

（3）绝对值：在数轴上，绝对值是指该数到原点的距离，注意，距离是长度，它没有正负。

（4）区间：在数轴上，空心原点表示开区间，实心原点表示闭区间，如图1-2所示。

3.数轴及其在电路分析中的应用

数轴上的正、负数表示了相反意义上的量，应用到电路分析中，它帮助解决了电路、电压、电流的计算问题。

在电路中，电流是由电源正极流向电源的负极的。从图1-3（a）中可知，电流是从a点流向b点的。同样在图1-3（b）中，电流也是从a点流向b点的。但是在图1-3（c）中，不能判断电流是从a点流向b点还是从b点流向a点，这就给电路分析造成了困难。如果再进一步具体分析一下，从a到b的中间这段支路中，它只能有一个电流，其大小是确定的。其方向不是由a流向b，就是由b流向a。根据数学的正、负数和相反数的知识，我们可以先假设某一个方向为正方向，然后在这个假设的前提下，利用电路基本定律来求解电路。如果求出电流是负值的话，这个负值不可能表示欠电路电流，它只能表示电流的方向与假设相反，是从b流向a。反之，求出的电流是正值，则表示电流的方向与假设是一样的，从a流向b。

在电路分析中，类似电流流向的还有两点电位的高低，也是采用这种方法处理的。