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（1）常量和变量：在某一个过程中，可以取不同数值的量称为变量，在过程中，保持同一数值的量或数称为常量或常数。一般情况下变量用字母表示，常量用数值或指定的字母表示。
（2）函数定义：设在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就称x为自变量，y为因变量，y是x的函数，记作y=F（x）。
（3）y与x的值是一一对应的，即每一个x只能有一个y值与它对应。如果一个自变量的值对应多个因变量的值，就不能称为函数关系，例如，y 2 =x，当 x=1 时，y 有+1 和-1 与之对应，y不是x的函数。但y=x 2 是函数，因为不论x是+1，还是-1，都只有一个y=1与之对应。
（4）代数式、方程与函数。
代数式是指用基本运算符号把数或字母连接在一起的式子，如5x+8。
在两个代数式之间加上等号或不等号，就变成了方程或不等式，如5x+8=0或5x+8>0。可以说，当代数式等于或不等于0时，就分别成为方程和不等式。
把代数式中的字母当做自变量，用x表示，与其相对应变化的另一个变量y，则形成函数y=5x+8。可见，方程是函数中y=0的一个特殊例子。
把代数式、方程和函数放在一起比较就是想告诉读者，代数式及其运算是数学的最基础的知识，是一定要掌握的知识。
函数的表示有三种方式。
（1）解析式：函数关系可以用一个数学等式来表示，例如，y=5x+8，y=sinx等。解析式的优点是能确定地描述自变量与因变量的关系，可以进行各种代数运算，可以进行任意点函数值计算。缺点是几何意义不直观，不能直接看出变化趋势。而且，在实际中所形成的函数关系多数根本不能用解析式表示。解析式又称函数表达式。
（2）列表法：用表格的形式表示两个变量间的函数关系。列表法常用在无法用解析法描述而只能通过实验来记录变量关系的场合。例如，表示热电偶的热电势与温度之间的一一对应关系的表格，简称分度表。列表法补充了解析法的不足，不需计算直接查表即可。它的缺点是列表法的描述是有限的（仅为实验点），在实验点之外的自变量值的变化只能进行近似处理。如果用数字设备进行函数处理，则表格会占用大量内存。
（3）图像法：在笛卡儿坐标系上用图形表示两个变量之间的关系称为图像法。一般自变量为X轴，因变量为Y轴。图像法可以表示任意的函数关系，特别是不能用解析法表示的函数关系。图像法的特点是简单、直观、一目了然。图像法的缺点是不易获取，当用解析法、列表法数据形成图像时，其仅为近似关系。虽然如此，在用解析法分析函数关系时，还是要常常借用其图像来做补充研究。
在以上三种函数的表达方式中，最常用的还是解析法。
在工控技术（包括电子电路）中，上述三种函数的表达方式均有出现。
解析法用得比较多，电子电路中许多电路物理量之间的关系都是函数关系式（一元或多元函数）。例如，全电路欧姆龙定律，其电动势E，内电阻r，外电阻R及电路电流I之间关系式为
如果I为因变量，E，R，r为自变量，则I=f（E，R，r）是一个三元函数。如果电动势E和内电阻r不变，则I是外电阻R的函数，I=f（R）等。
而列表法则常用在一些函数关系不能用解析式或图像法表示的场合。例如，某些传感器的物理量与转换后的电量之间没有一定的函数表达式，只能通过实验把它们之间的关系一一记录下来，形成表格函数。应用时，必须把表格存储在规定的存储区中，然后根据输出电量的大小去查表找到相应的物理量大小。这种方法，如果对精度要求很高，表格需做得非常细，而落在非表格点之间的数只能用近似方法处理得到。
图像法在工控技术中常用在定性说明各种特殊关系表示中，例如，许多电子元件的特性说明都是通过实验表格。首先画出它们之间函数关系的图像，然后根据这些图像来进行定性分析。在一些工控模块的输入/输出关系特性上，也常常画出它们的图像，而不给出函数分析式。
【例4】 判断图2-5中的图像，哪些是函数关系，哪些不是函数关系。
图2-5 例4图
解： （a）是函数关系，y=b。
（b）不是函数关系，x与y不一一对应，一个x出现两个y值。
（c）是函数关系，x与y一一对应。
（1）函数中自变量的取值要使解析式有意义，这个使解析式有意义的取值范围称为函数自变量的定义域。在自变量取值范围里得到的因变量的变化范围称为函数的值域。一般情况下是先求出函数的定义域，再根据定义域求函数的值域。
（2）函数的定义域的确定是排除下面使解析式无意义的取值，主要有以下几个方面。
●表达式为分式时，分母不为0；
●表达式是二次根式时，被开方数要大于等于0；
●表达式是对数时，底数a>0，且a≠1，真数N>0。
当解析式中含有分式、根式、对数等复合函数时，求定义域实质上是解不等式和不等式组的过程。
（3）对于实际问题中的函数关系，其自变量的定义域除了要使解析式有意义外，还要使实际问题有意义。
（1）奇偶性：对于定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则f（x）为偶函数；若都有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。
（2）单调性：对于定义域内某个区间上的任意x 1 和x 2 ，当x 1 ＜x 2 时，都有f（x 1 ）＜f（x 2 ），称f（x）在这个区间上为单调增函数；当x 1 ＜x 2 时，都有f（x 1 ）＞f（x 2 ），则称f（x）在这个区间上为单调减函数。
如图2-6（a）所示，在区间（a，b）中，当x增加时，y值也随之增加，所以是增函数。而在图2-6（b）中，y值是随着x值的增加而减小，所以是减函数。
图2-6 函数的单调性
（3）周期性：对于定义域内的函数f（x），如果有f（x+T）=f（x），则称f（x）为周期函数，使f（x+T）=f（x）成立的最小正数T称为y=f（x）的周期。
图2-7所示为矩形脉冲波的周期函数，其周期为T。如果横坐标为时间t（单位：s），则该矩形脉冲波的周期为Ts，其含义为每经过Ts，矩形脉冲波重新出现一次，如此周而复始。把1s里波形出现的次数称为频率f，则有
周期和频率是工控技术中经常用到两个基本概念，工控技术用得最多的是周期性正弦波和周期性脉冲波。
图2-7 短形脉冲波的周期函数
（1）由函数y=f（x）经过代数式来运算得到x=f（y）（即把y看成自变量，x看成因变量），则称函数x=f（y）是函数y=f（x）的反函数。为保持自变量是x、因变量是y的函数表达式的一致性，把y=f（x）称为原函数，把y=f（x）的反函数记为y=f -1 （x）。
（2）原函数的定义域是其反函数的值域，而原函数的值域则是反函数的定义域。
（3）函数与反函数在工控技术模拟量控制中常常用到。例如，当A/D模块把外部物理量变成数字量送入PLC后，常常需要在触摸屏上仍然显示物理量值。这就需要求出原来物理量—数字量关系的反函数。通过反函数的运算求出相应的物理量，再送到触摸屏上显示。
【例5】 求下列函数的定义域。
（1）y=3x+8
解： （1）函数表达式为整式，定义域为全体实数。
（2）自变量取值为二次根式的被开方数大于等于0，分母不等于0，有不等式组：
解不等式组得x≥1。
【例6】 求y=2x+7的反函数。
解： y=2x+7
2x=y-7
得
则反函数为
1.求下列函数的定义域。
2.求下列函数的反函数。
（1）y=5x （2）y=-3x-1
（1）把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值作为点的横坐标和纵坐标，在笛卡儿坐标系内描出它们的对应点，所有这些点所组成的图像称为函数的图像。
（2）函数图像上的任意点P（x，y）中的x，y满足其函数关系式y=f（x）。而满足函数关系式y=f（x）的任一对（x，y）所对应的点，一定在函数的图像上。
上面描述也可作为判断点P（x，y）是否在函数图像上的方法：将x，y分别代入函数表达式，若等式成立，点在函数图像上；若等式不成立，点不在函数图像上。
（1）列表：列表给出自变量与因变量的对应值。x为第一行，y为第二行，其值由小到大。列表时最好能将一些特征点列入。例如x=0、y=0、最大、最小等。
（2）描点：在平面笛卡儿坐标系内，描出表中相应的点，点越多，图像越准确。
（3）连线：按照自变量从小到大的顺序，把所有的点用平滑的曲线连接起来，就是函数的图像。