下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以在数轴上找到其对应的点，这就是数轴上的点和数的一一对应关系。数轴上的数都是相对于原点距离来确定的，原点可以称为起点或参考点，这就是数轴上点的位置确定方法。如果一个点在平面上，那么它的位置是如何确定的呢？有两种主要方法可以确定平面上点的位置。
（1）直角坐标法：如图2-1（a）所示，在平面上作两条互相垂直的线（坐标轴），点P是平行于两个坐标轴的直线的交点，交点坐标值（x，y）就是点P的位置。
（2）极坐标法：如图2-1（b）所示，在平面上作一条射线OX，连接OP，则OP的距离和其与射线之间的夹角（r，θ）就是点P的位置。
图2-1 两种坐标
上面两种方法说明，平面上的点，其位置必须用两个数才能确定。本章仅讨论直角坐标法，极坐标法会在第3章中介绍。
（1）定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面笛卡儿坐标系。水平的数轴称为X轴或横轴，垂直的轴称为Y轴或纵轴。两条轴的交点O称为坐标原点，如图2-2所示。
图2-2 平面笛卡尔坐标系
（2）象限：平面笛卡儿坐标系把整个平面分成4个部分，分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，平面上所有的点均落在这四个象限的一个象限内，如图2-2所示。
（1）对平面内任意一点P，过P点分别向X轴和Y轴作垂线，垂足在X轴及Y轴上的对应的数x、y分别称为点P的横坐标、纵坐标。有序数对（x，y）称为P点坐标，如图2-1（a）所示。
（2）平面内的点都可以用其坐标（x，y）来表示，并且点和坐标（x，y）存在一一对应关系，即每一个平面内的点只能有一个坐标（x，y）表示，每一个坐标数（x，y）只能表示一个点。
（3）点在4个象限内的坐标值的符号是一定的。例如，在第一象限内，坐标值x>0，y>0均为正值，用（+，+）表示。在第三象限内，坐标值x<0，y<0。用（-，-）表示。同理，在第二象限为（-，+），第四象限为（+，-）。只要知道点的坐标值，就知道它在第几象限，如图2-2所示。
（4）特殊点的坐标。
笛卡儿坐标系中有几个特殊点的坐标，如图2-3所示。这些特殊点为：
●原点坐标（0，0），如图2-3的O点。
●X轴上点坐标（x，0），如图2-3的A点。
●Y轴上点坐标（0，y），如图2-3的B点。
●平行于X轴的直线上点坐标（x，a），如图2-3的点C。
●平行于Y轴的直线上点坐标（b，y），如图2-3的点D。
特殊点的坐标要求能记住。
图2-3 特殊点坐标
（1）对称点坐标指与点关于轴对称和原点对称的坐标，设平面上点的坐标为（x，y），则其关于X轴的对称点的坐标为（x，-y）；关于Y轴的对称点的坐标为（-x，y），关于原点的对称点坐标为（-x，-y），如图2-4所示。
图2-4 对称点坐标
（2）点到直线，点到点的距离公式。
设平面上点的坐标为（x，y），则点到X轴的距离为|y|，点到Y轴的距离为|x|，点到原点O的距离公式为
。
平面上有两个点A（x 1 ，y 1 ）和B（x 2 ，y 2 ），则两点的距离为
【例1】 若点P（a，5-a）是第二象限的点，求a值的取值范围。
解： 第二象限点为（-，+），则
所以
a<0
【例2】 坐标平面内点P（-3，6），试写出对称点坐标，并指出它们在第几象限。
解： X轴对称点坐标（-3，-6）第三象限
Y轴对称点坐标（3，6）第一象限
原点对称点坐标（3，-6）第四象限
【例3】 试求点P（4，-6）到坐标轴及原点距离。
解： 到X轴距离为|-6|=6
到Y轴距离为|4|=4
到原点距离为
1.指出下列各点在哪一个象限内。
A（4，-6）B（-3，-8）C（-10，
）
2.如果点A（2，y 1 ）和点B（x，-3）为关于X轴的对称点，求A点和B点的坐标。
3.点（2，-3）和点（10，-7）的距离是多少？