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与电网络类似，流体网络也满足Kirchhoff电流定律，即任何节点流体流出量等于流入量 [144] 。因此流体网络的Kirchhoff电流定律可以表示为：
或
式中，n
c
为网络的节点数；
Q
为流量矩阵。
是一个(n
c
-2)×n阶的满秩矩阵，且
的值定义如下：如果分支j与节点i相连且流体流出此节点，则
如果分支j与节点i相连且流体流入此节点，则
；如果分支j与节点i不相连，则
。
假设流体网络系统连接有g个执行机构，则执行机构所在分支的流体流量可由以下表达式表示：
或
式中，在多执行机构网络中，
为执行机构i所在分支的流体流量。
是一个g×n矩阵，且其值定义如下：如果分支j和执行机构分支i相连，且流出执行机构，则
；流入执行机构分支i，则
；如果分支j和执行机构分支i不相连，则
。
类似的，流体网络也满足Kirchhoff电压定律，即网络中任何回路中的压力之和等于零 [144] ，数学表达式如下：
或
式中， H j 为分支j的压降；l为网络中的连支数，l=N-n c +1，N=n+1为拥有执行结构的分支数； H 为压降的一个矢量； E H =[E Hij ]是一个(l-k)×n的网孔矩阵，每个网孔由一个连支和此连支两个末端端点唯一连接的树枝组成；k是包含执行机构分支网孔数量，它等于连支数，在其末端连接到执行机构。E Hij 定义如下：如果分支j包含在网孔i中，且与连支方向一致，则E Hij =1；如果分支j包含在网孔i中，且与连支方向相反，则E Hij =-1；如果分支j不包含在网孔i中，则E Hij =0。
考虑到网孔里包含了执行机构分支，对于多执行机构网络，由于动力执行机构分支被定义为树枝，所以不存在全为执行机构分支的回路，则执行机构分支的网络压降可表示为：
或
式中， H m 是执行机构分支的压降； e Hm =[e Hmij ]是一个g×n的矩阵。e Hmij 定义如下：如果分支j包含在网孔i中，且方向与执行机构分支一致，则e Hmij =1；如果分支j包含在网孔i中，方向与执行机构分支相反，则e Hmij =-1；如果分支j不包含在网孔i中，则e Hmij =0。
对于多执行机构网络，执行机构分支的动力学方程可表示为：
式中，d 1 ,d 2 ,,d g 为各执行机构分支产生的等量压降；R m 1,…,R mg 为各执行机构分支的阻力系数。
令
根据式（2-28），式（2-33）可重新写为：
为了建立状态方程，必须找到系统状态的独立变量。不难发现通过树和连支的概念可以很容易实现。根据图论原理，借用树和连支的概念，首先定义通风网络的树，使之包含执行机构分支，取连支流量作为状态变量。为了便于分析，标志连支从1到l=N-n c +1，N=n+g为包含执行机构的分支个数，非执行机构树枝从l+1到n，执行机构树枝从G 1 到G g 。
定义：
即 Q c 和 H c 矩阵分别描述连支中的流量和压降， Q a 和 H a 矩阵分别描述树枝中的流量和压降，但并不包括执行机构的分支。
定义 Q D 和 K 如下：
则式（2-24）可以重新写为：
命题2.1 ：存在维数一定的矩阵 A , B , C , Y RQ , Y Q 和 Y d ，使得流体网络全阶模型可以表示为：
式中， Q 是系统的状态； R 和 d 是输入； H 是系统的输出。
证明：
矩阵 E H ， E Q ， e Hm 和 e Qm 可用如下形式来表示：
式中，
现在通过连支的流量来表示树枝的流量，由式（2-26）、式（2-36）和式（2-41）得：
由式（2-43）中的E Qa =I( n-l)×(n-l) 知：
由式（2-30）和式（2-32）可得：
因此，如果
的逆存在（详见引理2.1），则H
c
表示如下：
通过式（2-35），重写式（2-47）如下：
式中：
微分
可得
，由式（2-37）和式（2-38）可得：
由式（2-52）和式（2-48）可得：
由式（2-43）得：
因此
式中：
其中，式中( E Qc K c S Ha + K a )的逆存在，证明详见引理2.2。
把式（2-55）代入式（2-48）得：
由式（2-36）、式（2-55）、式（2-60）得：
式中：
把式（2-61）代入式（2-38）可得：
式中：
从而建立了以所有分支流量 Q 为系统的状态，压力 H 为系统的输出的流体网络全阶模型。
引理2.1
：矩阵
的逆存在。
证明：
由参考文献[144]可知，在多执行机构流体网络中考虑到没有全为树枝的回路，则
是一个满秩的矩阵。
反证法，假定
存在两行向量是等同的，则必存在一个全为树枝的回路，但这又与上述描述相违背；同样的，可以用反证法证明在
的列向量中也不存在其中一列为其他列的线性组合。
证毕
引理2.2 ：矩阵 E Qc K c S Ha + K a 的逆存在。
证明：
写出满足KVL的回路矩阵和满足KCL的割集矩阵的紧式。
由参考文献[144]可知，回路矩阵和割集矩阵存在如下关系：
由式（2-43）可得：
或
由式（2-43）可知，
E
Q
是满秩的，所以
可以由奇异值分解因式分解为
[145]
：
由式（2-67）和式（2-68）可得：
可得：
把式（2-37）、式（2-43）和式（2-66）代入式（2-70）得：
所以 E Qc K c S Ha + K a 的逆存在。
证毕
评注2.1 ：流体网络的全阶模型可以不用回路矩阵 E H 和 e Hm 表示。
由式（2-65）可得：
根据以上描述和式（2-66）可知，所有的辅助矩阵可以不用回路矩阵 E H 和 e Hm 表示，即：
如前所述，根据图论原理系统的状态变量并不相互独立，下面将建立系统的降阶模型。
定义：
命题2.2 ：存在矩阵 A c , A ca , B c , C c ，使流体网络降阶（最小模型）可以表示为：
其中， Q c 是系统状态； R c , R a 和 d 是控制输入； H a 是系统的输出。
证明：
由式（2-43）、式（2-48）可知 S Qa =0，并且由式（2-57）可知 ζ Qa =0，把式（2-73）代入式（2-60）可得：
由式（2-38）可得：
把式（2-77）代入式（2-78）可得：
其中：
由式（2-45）、式（2-55）和式（2-57）可得：
则流体网络的最小模型为：
其中：
则执行机构分支的压降可以描述为：
综上所述，建立了以连支流量 Q c 为系统状态， R c 、 R a 和 d 为系统输入，树枝压力 H a 为系统输出的流体网络降阶模型，即系统的最小实现。