首先，把流体看作是不可压缩的，所有分支的温度是相同的。流体在管网中的流动属于一维流动，假设管网的横截面面积、横截面周长不随流体网络分支的长度发生变化。

2.1.1 连续方程

根据流体力学理论可知，流体微分形式的欧拉型连续方程为：

式中，S为管网断面积； ρ 为流体密度；V为流体流速；t为时间；L为管网长度。

因为流体网络内流体被看作是不可压缩的，即 ρ 是不随时间变化的常数，所以：

即 ρ V _s =Q _m =const，Q _m 为流体质量流量。

如果流体的密度相等，则有：

式中，Q为流体体积流量。

式（2-2）和式（2-3）为流体流动连续方程，它说明了在同一时刻流体通过管网横截面的质量或流体流量相等。

2.1.2 运动方程

选择一段体积为 、表面积为 的流体管路（流体流动方向的横截面是管网横截面）作为系统。系统流体流动的动量 对于时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力。系统所受的力包括质量力 、系统表面所受的应力 。系统动量方程的拉格朗日积分形式为：

式中， 为质点导数，设 φ 为任意物理量，则 的表达式如下：

为哈密尔顿算子，对于一维流动， ，其中e _L 为流体流动方向的单位矢量；V为流体流动速度矢量， 为单位质量的质量力，在重力场中质量力有势 ，u为势函数。对于一维流动u=gz，z是管网直径，g是重力加速度，其余符号意义同前。

根据输运公式：

式中， n 为控制体表面的法线方向； τ 、A分别为控制体体积和表面积。

可把拉格朗日型系统的动量方程化为欧拉型控制体方程，即：

其中：

式中，p为表面应力P _n 的数值大小；P为应力张量。

对于一维的、不可压缩的、具有黏性的流体，有：

式中， σ _n 为流体的切向应力，即流体与管网壁的摩擦应力， σ _n =- σ _n e _L 。

把式（2-8）和式（2-9）代入式（2-7）得：

即：

如果物理量及其一阶导数连续，则由于被积函数的连续性及积分区间的任意性，欲使上式成立，要求被积函数处处为零，即：

又因为

因为（ V × Ω ）⊥ e ，所以

综合式（2-12）、式（2-13）、式（2-14），得：

用管网流量的微元弧长dL与式（2-15）进行标量积，考虑到V=V· ，Q=VS，有：

设流体从横截面1向横截面2流动，对式（2-16）在断面1、2之间积分，考虑到流量Q与管网长度无关，则有：

式中，L为管网横截面1、2之间的总长度；z ₁ ，z ₂ 分别为横截面1、2处的管网直径； ， 分别为管网横截面1、2处的流体速度；p ₁ ，p ₂ 分别为管网横截面1、2处的流体静压； 为平均单位长度管网流体的摩擦阻力值。摩擦阻力 与流量的n次方成正比，即：

其中， 为管网摩擦阻力系数，n取1～2之间的值。

考虑到管网的局部阻力系数 ，则流体的总阻力系数为：

因此式（2-17）可写成如下形式：

式（2-20）等号右边即为流体所克服的阻力，令

则流体阻力计算公式为：

即管网流体的运动方程。

令

因为流量Q仅是时间t的函数，所以式（2-22）可写成：

考虑到流体网络控制建模的状态空间表达式，式（2-23）可写为：

式中， Q _j 是通过分支j的流体流量； 是流体动力阻力， 是分支j的流体阻力，l _j 是分支j的长度； 是分支j的压降， 为分支末端的压力， 为分支始端的压力； 是阻力系数，S _j 是分支j的横截面的面积， ρ 是流体浓度； 并且n为流体分支数。 MLdh0LqFW/y+OD0XL0nQXc2nBXM9m7PLzdBXJfcrGKJGZo6BVydmqyVNaSc4Uz8c