1.1　二进制计数法回顾

1.1.1　关于二进制计数法

在《穿越计算机的迷雾》那本书里我们已经知道，计算机也是一台机器，唯一不同的地方在于它能计算数学题，且具有逻辑判断能力。

与此同时，我们也已经在那本书里学到，机器在做数学题的时候，也面临着一个如何表示数字的问题，比如你采用什么办法来将加数和被加数送到机器里。

同样是在那本书里，我们揭晓了答案，那就是用高、低两种电平的组合来表示数字。如图1-1所示，参与计算的数字通过电线送往计算机器，高电平被认为是“1”，低电平被认为是“0”，这样就形成了一个序列“11111010”，这就是一个二进制数，在数值上等于我们所熟知的二百五，换句话说，等于十进制数250。

从数学的角度来看，二进制计数法是现代主流计算机的基础。一方面，它简化了硬件设计，因为它只有两个符号“0”和“1”，要得到它们，可以用最少的电路元件来接通或者关断电路就行了；另一方面，二进制数与我们熟悉的十进制数之间有着一对一的关系，任何一个十进制数都对应着一个二进制数，不管它有多大。比如，十进制数5，它所对应的二进制数是101，而十进制数5785478965147则对应着一长串“0”和“1”的组合，即1010100001100001001011010110010011110011011。

组成二进制数的每一个数位，称为一个比特（bit），而一个二进制数也可以看成是一个比特串。很明显，它的数值越大，这个比特串就越长，这是二进制计数法不好的一面。

1.1.2　二进制到十进制的转换

每一种计数法都有自己的符号（数符）。比如，十进制有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个符号；二进制呢，则只有0、1 这两个符号。这些数字符号的个数称为基数。也就是说，十进制有10 个基数，而二进制只有两个。

二进制和十进制都是进位计数法。进位计数法的一个特点是，符号的值和它在这个数中所处的位置有关。比如十进制数356，数字6 处在个位上，所以是“6 个”；5 处在十位上，所以是“50”；3 处在百位上，所以是“300”。即：

百位3、十位5、个位6＝3×10 ² ＋5×10 ¹ ＋6×10 ⁰ ＝356

这就是说，由于所处的位置不同，每个数位都有一个不同的放大倍数，这称为“权”。每个数位的权是这样计算的（这里仅讨论整数）：从右往左开始，以基数为底，指数从0 开始递增的幂。正如上面的公式所清楚表明的那样，“6”在最右边，所以它的权是以10 为底，指数为0 的幂10 ⁰ ；而3 呢，它的权则是以10 为底，指数为2 的幂10 ² 。

上面的算式是把十进制数“翻译”成十进制数。从十进制数又算回到十进制数，这看起来有些可笑，注意这个公式是可以推广的，可以用它来将二进制数转换成十进制数。

比如一个二进制数10110001，它的基数是2，所以要这样来计算与它等值的十进制数：

10110001B＝1×2 ⁷ ＋0×2 ⁶ ＋1×2 ⁵ ＋1×2 ⁴ ＋0×2 ³ ＋0×2 ² ＋0×2 ¹ ＋1× ² 0＝177D

在上面的公式里，10110001B 里的“B”表示这是一个二进制数，“D”则表示177 是个十进制数。“B”和“D”分别是英语单词Binary 和Decimal 的头一个字母，这两个单词分别表示二进位和十进位的意思。

检测点1.1

将下列二进制数转换成十进制数：

1101、1111、1001110、11111111、10000000、1101101100011011

1.1.3　十进制到二进制的转换

为了将一个十进制数转换成二进制数，可以采用将它不停地除以二进制的基数2，直到商为0，然后将每一步得到的余数串起来即可。如图1-2 所示，如果要将十进制数26 转换成二进制数11010，那么可采用如下方法：

第1 步，将26 除以2，商为13，余数为0；

第2 步，用13 除以2，商为6，余数为1；

第3 步，用6 除以2，商为3，余数为0；

第4 步，用3 除以2，商为1，余数为1；

第5 步，用1 除以2，商为0，余数为1，结束。

然后，从下往上，将每一步得到的余数串起来，从左往右书写，就是我们所要转换的二进制数。

检测点1.2

将下列十进制数转换成二进制数：

8、10、12、15、25、64、100、255、1000、65535、1048576 IPzDCnEFnOEDdu4E2Mkvk8Meum3P3dIecHSovzuiG0DbxCHrZCfKJSdrE9Qw3mzd