6.7　计算机中的负数

6.7.1　无符号数和有符号数

为了讲解后面的内容时能够顺利一些，现在我们离开源程序，来介绍一些题外的知识。

从本书的开篇到现在，我们一直没有提到负数，就好像世界上根本没有负数一样。计算机当然要处理负数，要不然它将没有多少实用价值。

在计算机中使用负数，这是一个容易令人产生迷惑的话题。不信？现在就开始了。

尽管我们从来没有考虑过数的正负问题，但是，事实上，我们在编写程序的时候，既可以使用正数，也可以使用负数。如图6-3 所示，我们在程序中用伪指令db 声明了一些正数和一些负数。

图6-4 显示了编译后的结果。用伪指令db 声明的数据都只有一个字节的长度， 所以很容易在这两幅图的各个数之间建立对应关系。

前面的正数都很好理解，十进制数128 对应的二进制数是10000000，对应的十六进制数是0x80；十进制数0 对应的二进制数是00000000，对应的十六进制数是0x00。为什么我们对此不感到新鲜？因为这显得非常自然，从本书一开始到现在，我们就是这样工作的。

真正的麻烦在于后面的负数，比如－1，它在编译的时候，编译器会怎么做呢？

它很笨，但也很聪明。因为－1 其实等于0－1，它就知道可以做一次减法。当然，这个减法，不是你已经熟悉的十进制减法，这没有用，你得做二进制的减法，也就是用二进制数0 减去二进制数1，结果是

注意左边的省略号，这是因为在相减的过程中，不停地向左边借位的结果。因此，可以说，这个数字是很长的，取决于你什么时候停止借位。

再比如十进制数－2，可以用0－2 来得到，在二进制的世界里，该减法是二进制数0 减去二进制数10，结果是

同样，相减的过程要向左借位，所以这个数字相当长。但是，最右边那一位是0。

在计算机中，数字保存在寄存器里，而在16 位处理器里，寄存器通常是8 位和16 位的。因此，以上相减的结果，只能保留最右边的8 位或者16 位。举个例子，十进制数－1 在寄存器AL中的二进制形式是

即0xFF；十进制数－2 在寄存器AL 中的二进制形式是

即0xFE。如果是16 位的寄存器，则相应地，要保留相减结果的最右边16 位。因此，十进制数-1 在AX 寄存器中的二进制形式是

即0xFFFF；十进制数－2 在寄存器AX 中的二进制形式是

即0xFFFE。

当然，数据还可以保存在内存中，或者编译后的二进制文件中。在二进制文件中，数据是用伪指令db 或者dw 等定义的。但是，数据的表示形式和它们在寄存器中的形式相同，以下代码片断很清楚地说明了这一点。

这是很令人吃惊的。因为我们知道，0xFF 等于十进制数255，但现在它又是十进制数－1，哪一个才是正确的呢？我们应该以哪一个为准呢？

好吧，假设这勉强能接受的话，那么，对照一下图6-3 和图6-4，你会发现，0x80 既是十进制数128，又是十进制数－128，到底哪一个是正确的呢？

这真是令人头疼的问题，不单单是对我们，对几十年前那些计算机工程师们来说也是如此。

一个良好的解决方案是，将计算机中的数分成两大类：无符号数和有符号数。无符号数的意思是我们不关心这些数的符号，因此也就无所谓正负，反正它们就是数而已，就像小学生一样，眼中只有自然数。在8 位的字节运算中，无符号数的范围是00000000～11111111，即十进制的0～255；在16 位的字运算中，无符号数的范围是0000000000000000～1111111111111111，即十进制的0～65535；在将来要讲到的32 位运算中，无符号数的范围是000000000000000000000000～ 11111111111111111111111111111111，即十进制的0～4294967295。很显然，我们以前使用的一直是无符号数。

相反地，有符号数是分正、负的，而且规定，数的正负要通过它的最高位来辨别。如果最高位是0，它就是正数；如果是1，就是负数。如此一来，在8 位的字节运算环境中，正数的范围是00000000～01111111，即十进制的0～127；负数的范围是10000000～11111111，即十进制的－128～－1。

正的有符号数，和与它同值的无符号数相同，这没什么好说的，毕竟它们形式上相同，按相同的方式处理最为方便。但是，负数就不同了，在这里，10000000～11111111 这些负数，都是用0减去它们相对应的正数得到的。想知道它们各自对应的正数是谁吗？很简单，因为“负数的负数”是正数，所以只需要用0 减去这个负数就行。所以，你可以试试看，因为

所以，10000000～11111111 这个范围内的有符号数，对应着十进制数－128～－1。

顺便说一下，在8086 处理器中，有一条指令专门做这件事，它就是neg。neg 指令带有一个操作数，可以是8 位或者16 位的寄存器，或者内存单元。如

它的功能很简单，用0 减去指令中指定的操作数。例子：如果AL 中的内容是00001000（十进制数8），执行neg al 后，AL 中的内容变为11111000（十进制数－8）；如果AL 中的内容为11000100（十进制数－60），执行neg al 后，AL 中的内容为00111100（十进制数60）。

相应地，在16 位的字运算环境中，正数的范围是0000000000000000～0111111111111111，即十进制的0～32767，负数的范围是1000000000000000～1111111111111111，即十进制的－32768～－1。

不要给计算机和编译器添麻烦。既然你已经知道一个字节可以容纳的数据范围是十进制的－128～127，就不要这样写：

寄存器AL 只有8 位，因此，编译后，－200 将被截断，机器码为B0 38。你可以这样写：

这时，编译后的机器码为B8 38 FF。

同样的规则也适用于伪指令db 和dw。举例（以下均为十进制数）：

32 位有符号数是16 位和8 位有符号数的超集，16 位有符号数又是8 位有符号数的超集，它们互相之间有重叠的部分。正数还好说，十进制数15，在8 位运算环境中是00001111，在16位运算环境中是0000000000001111，没有什么区别。但是，同一个负数，其表现形式略有差别。比如十进制数－3，它在8 位运算中是11111101，即0xFD；在16 位运算中，则是1111111111111101，即0xFFFD。这种差别的来源很简单，我们已经讲过了，在计算机中，－3 是用0 减去3 得到的，在8 位运算中只能保留结果的低8 位，即11111101（0xFD）；在16 位运算中只能保留结果的低16 位，即1111111111111101（0xFFFD）。

很显然，一个8 位的有符号数，要想用16 位的形式来表示，只需将其最高位，也就是用来辨别符号的那一位（几乎所有的书上都称之为符号位，实际上这并不严谨），扩展到高8 位即可。为了方便，处理器专门设计了两条指令来做这件事：cbw（Convert Byte to Word）和cwd（Convert Word to Double-word）。

cbw 没有操作数，操作码为98。它的功能是，将寄存器AL 中的有符号数扩展到整个AX。举个例子，如果AL 中的内容为01001111，那么执行该指令后，AX 中的内容为0000000001001111；如果AL 中的内容为10001101，执行该指令后，AX 中的内容为1111111110001101。

cwd 也没有操作数，操作码为99。它的功能是，将寄存器AX 中的有符号数扩展到DX:AX。举个例子，如果AX 中的内容为0100111101111001，那么执行该指令后，DX 中的内容为0000000000000000，AX 中的内容不变；如果AX 中的内容为1000110110001011，那么执行该指令后，DX 中的内容为1111111111111111，AX 中的内容同样不变。

尽管有符号数的最高位通常称为符号位，但并不意味着它仅仅用来表示正负号。事实上，通过上面的讲述和实例可以看出，它既是数的一部分，和其他比特一起共同表示数的大小，同时又用来判断数的正负。

6.7.2　处理器视角中的数据类型

无符号数和有符号数的划分并没有从根本上打消我们的疑虑，即假如寄存器AX 中的内容是0xB23C，那么，它到底是无符号数45628 呢，还是应当将其看成是－19908？

答案是，这是你自己的事，取决于你怎么看待它。对于处理器的多数指令来说，执行的结果和操作数的类型没有关系。换句话说，无论你是从无符号数的角度来看，还是从有符号数的角度来看，指令的执行结果都是正确无误的。比如

这条指令显然根本不考虑操作数的类型。再比如

在这里，0xf0 的二进制形式是11110000，它既可以解释为无符号数240（十进制），也可以解释为有符号数－16，毕竟它的符号位是1。无论如何，inc 是加一指令，这条指令执行后，AH 中的内容是二进制数11110001，既是无符号数241，也是有符号数－15。

再考虑加法运算。比如

0x8c03 的二进制形式是1000110000000011，既可以看做无符号数35843（十进制），也可以看成是有符号数－29693（十进制）。在运算过程中，数的视角要统一，如果把0x8c03 看成是无符号数，那么0x05 也是无符号数；如果0x8c03 是有符号数，那么0x05 也是有符号数。

关键是运算后的结果。很幸运的是，add 指令同样适用于无符号数和有符号数。所以，这两条指令执行后，AX 中的内容是0x8c08，分别可以看成是无符号数35848 和有符号数－29688。

再来考虑一下减法。考虑一下，如果要计算10－3，这其实可以看成是10＋（－3）。因此，使用以下三条指令就可以完成减法运算：

正是因为这个原因，很多处理器内部不构造减法电路，而是使用加法电路来做减法。

尽管如此，为了方便起见，处理器还是提供了减法指令sub，该指令和加法指令add 相似，目的操作数可以是8 位或者16 位通用寄存器，也可以是8 位或者16 位的内存单元；源操作数可以是通用寄存器，也可以是内存单元或者立即数（不允许两个操作数同时为内存单元）。比如

因为处理器没有减法运算电路，所以，举例来说，sub ah,al 指令实际上等效于下面两条指令：

可以这么说，几乎所有的处理器指令既能操作无符号数，又能操作有符号数。但是，有几条指令除外，比如除法指令和乘法指令。

我们已经学过除法指令div。严格地说，它应该叫做无符号除法指令（Unsigned Divide），因为这条指令只能工作于无符号数。换句话说，只有从无符号数的角度来解释它的执行结果才能说得通。举个例子：

从无符号数的角度来看，0x0400 等于十进制数1024，0xf0 等于十进制数240。相除后，寄存器AL 中的商为0x04，即十进制数4，完全正确。

但是，从有符号数的角度来看，0x0400 等于十进制数1024，0xf0 等于十进制数－16。理论上，相除后，寄存器AL 中结果应当是0xc0。因其最高位是“1”，故为负数，即十进制数为－64。

为了解决这个问题，处理器专门提供了一个有符号数除法指令idiv（Signed Divide）。idiv 的指令格式和div 相同，除了它是专门用于计算有符号数的。如果你决定要进行有符号数的计算，必须采用如下代码：

在用idiv 指令做除法时，需要小心。比如用0xf0c0 除以0x10，也就是十进制数的除法－3904÷ 16。你的做法可能会是这样的：

以上的代码是16 位二进制数除法，结果在寄存器AL 中。除法的结果应当是十进制数－244，遗憾的是，这样的结果超出了寄存器AL 所能表示的范围，必然因为溢出而不正确。为此，你可能会用32 位的除法来代替以前的做法：

很遗憾，这依然是错的。十进制数－3904 的16 位二进制形式和32 位二进制形式是不同的。前者是0xf0c0，后者是0xfffff0c0。还记得cwd 吗？你应该用这条指令把寄存器AX 中数的符号扩展到DX。所以，完全正确的写法是这样的：

以上指令全部执行后，寄存器AX 中的内容为0xff0c，即十进制数－244。

主动权在你自己手上，在写程序的时候，你要做什么，什么目的，你自己最清楚。如果是无符号数计算，必须使用div 指令；如果你是在做有符号数计算，就应当使用idiv 指令。

检测点6.3

假如以下声明的是有符号数，那么，其中的负数是（　　　　　　　　　　　　　）。

data0 db 0xf0,0x05,0x66,0xff,0x81

data1 dw 0xfff,0xffff,0x8b,0x8a08 5Yp4uIrcvn/M/Q9VMvbG3FIWDnEOkW9x/UAE69E7/MDzFN1jLxzCSXtqP/nWvDTA