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产品造型设计离不开点、线、面、体等几何元素，本节将重点介绍造型设计的几何元素，以及造型设计的一些数学概念。
几何元素包括点、线、面和体，这些都是构造几何对象的基本元素，所有的几何对象都可以由这些基本几何元素构造。
点的类型较多，如端点、控制点、交点、圆弧中心/椭圆中心/球心、象限点、圆弧/椭圆上的角度、点在曲线/边上和面上的点等，点是构成曲线和曲面的最基本元素，如图2-1所示为一组点。
线一般由点构成，大致可以分为基本曲线（如直线、圆弧和圆等）、规律曲线（如二次曲线、螺旋线）和样条曲线等，如图2-2所示为UG中的线。
图2-1 点
图2-2 线
面一般由曲线构成。平面的构造一般比较简单，但是曲面的构造方法就比较复杂。UG NX提供了非常丰富的构造曲面的方法，具有强大的曲面造型功能。如图2-3所示为UG NX中的一个自由曲面。
体一般由面构成，简单的体有长方体、圆柱体、圆锥体和球体等。较为复杂的体可以通过拉伸、回转和扫掠等实体成形操作创建。此外，还可以通过布尔运算得到两个或者多个实体之间的运算体（如布尔求加运算后得到的实体）。如图2-4所示为UG NX中的一个长方体修剪后的实体。
图2-3 面
图2-4 体
提示
实际的建模过程就是采用各种方法构建曲面和实体的操作过程，而通常曲面由根据曲线创建，曲面最终要转化成实体。
产品造型技术随着数学相关研究领域的不断深入而得到长足的发展，多种曲线、曲面被广泛应用。产品造型中所涉及的数学知识较多，本节主要介绍其中最基本的一些曲线、曲面的理论及构造方法，使读者在原理和概念上有一个大致的了解。
Bezier曲线与曲面是法国雷诺公司的Bezier在1962年提出的一种构造曲线、曲面的方法，是三次曲线的形成原理，这是由四个位置矢量Q0、Q1、Q2、Q3定义的曲线。
通常将Q0、Q1、Q2…Qt组成的多边形折线称为Bezier控制多边形，多边形的第一条折线和最后一条折线代表曲线的起点和终点的切线方向，其他曲线用于定义曲线的阶次与形状，如图2-5所示。
图2-5 Bezier曲线
B样条曲线继承了Bezier曲线的优点，仍采用特征多边形及权函数定义曲线，所不同的是权函数不采用伯恩斯坦基函数，而采用B样条基函数。
B样条曲线与特征多边形十分接近，同时便于进行局部修改。与Bezier曲面生成过程相似，由B样条曲线可以很容易推广到B样条曲面。
NURBS是Non-Uniform Rational B-Splines的缩写，是非均匀有理B样条的意思，具体解释如下。
（1）Non-Uniform（非均匀）：指能够改变控制顶点的影响力的范围。当创建一个不规则曲面的时候，这一点非常有用。同样，统一的曲线和曲面在透视投影下也不无变化的，对于交互的3D建模来说，这是一个严重的缺陷。
（2）Rational（有理）：指每个NURBS物体都可以用数学表达式来定义。
（3）B-Spline（B样条）：指用线路来构建一条曲线，在一个或更多的点之间以内插替换，如图2-6所示为一个3次的B样条及其多边形，如图2-7所示为一个B样条曲面级控制多边形。
图2-63 次NURBS曲线
图2-7 B样条曲面
NURBS技术提供了对标准解析几何和自由曲线、曲面的统一数学描述方法，它可通过调整控制顶点和因子，方便地改变曲面的形状，同时也可以方便地转换成对应的Bezier面。
因此NURBS方法已成为曲线、曲面建模中最为流行的技术。STEP产品数据交换标准也将非均匀有理B样条（NURBS）作为曲面几何描述的唯一方法。
NURBS是用数学方式来描述形体，采用解析几何图形，曲线或曲面上任何一点都有对应的坐标（x，y，z），所以具有高度的精确性。
NURBS曲面可以由任何曲线生成。对于NURBS曲面而言，剪切是不会对曲面的UV方向产生影响的，也就是说不会对UV网格产生影响，如图2-8所示。
图2-8 剪切NURBS曲面
提示
NURBS曲面的这一特性，是产品造型中三边面和五边面构建的理论基础。通过修剪拼接NURBS曲面，从而创建满足要求的曲面。
曲线的连续性包括位置连续性（G0）、相切连续性（G1）、曲率连续性（G2）和流连续性（G3），这4种连续性分别说明如下。
曲线的位置连续性是指新构造的曲线直接连接，如图2-9所示。两条曲线在一点处相连，在该点处只有位置坐标相同。通过曲线的曲率梳可以清楚地看到两条曲线的关系如图2-10所示。
图2-9 G0连续曲线
图2-10 G0连续曲率梳
曲线的相切连续性是指在位置连续的基础上，在连接处两条曲线保持相切，如图2-11所示。两条曲线在一点处相连，在该点不仅位置坐标相同而且在该点处的斜率也相同。通过曲线的曲率梳也可以清楚地看到两条曲线的关系，如图2-12所示。
图2-11 G1连续曲线
图2-12 G1连续曲率梳
曲线的曲率连续性是指在相切连续的基础上，在相连接处两条曲线曲率相同，如图2-13所示。两条曲线在一点处相连，在该点不仅位置坐标相同，在该点处的斜率相同而且曲率也相同。通过曲线的曲率梳同样可以清楚看到两条曲线的关系，如图2-14所示。
图2-13 G2连续曲线
图2-14 G2连续曲线曲率梳
曲线的流连续性是指在曲率连续的基础上，在相连接处两条曲线曲率的变化率相同，如图2-15所示。两条曲线在一点处相连，在该点处不仅位置坐标相同，在该点处的斜率，而且曲率也相同，同时还要保证两条曲线在该点曲率的变化率也相同。通过曲线的曲率梳同样可以清楚看到两条曲线的关系，如图2-16所示。
图2-15 G3连续曲线
图2-16 G3连续曲率梳
从上述说明中可知，位置连续性（G0）、相切连续性（G1）、曲率连续性（G2）和流连续性（G3）对曲线的连续性要求依次增高。
技巧
分析曲线连续性时，虽然UG NX提供了专门的连续性分析工具，但是对于一般情况通过显示曲线的曲率梳，观察曲率梳的连续情况可以更方便地分析出曲线的连续性。
曲面的连续性一般包括位置连续性（G0）、相切连续性（G 1）和曲率连续性（G2），这3种连续性分别说明如下。
曲面的位置连续性是指新构造的曲面与相连的曲面直接连接起来即可，只满足在该处位置坐标相同，不需要在两个曲面的相交线处相切。
如图2-17所示，为使用“通过曲线组”命令创建的一个曲面，曲面在边界处设置连续性条件为位置连续，通过面分析的反射分析可以从斑马线清楚地看出两个面的连续性关系，如图2-18所示。
图2-17 G0连续曲面
图2-18 G0连续曲面分析
曲面的相切连续性是指在曲面位置连续的基础上，新创建的曲面与相连曲面在相交线处相切连续，即新创建的曲面在相交线处与相连曲面在相交线处具有相同的法线方向。
如图2-19所示，为使用“通过曲线组”命令创建的一个曲面，曲面在边界处设置连续性条件为相切连续，通过面分析的反射分析可以从斑马线清楚看出两个面的连续性关系，如图2-20所示。
图2-19 G1连续曲面
图2-20 G1连续曲面分析
曲面的曲率连续性是指在曲面相切连续的基础上，新创建的曲面与相连曲面在相交线处曲率连续。如图2-21所示为使用“通过曲线组”命令创建的一个曲面，曲面在边界处设置连续性条件为曲率连续，通过面分析的反射分析可以从斑马线清楚地看出两个面的连续性关系，如图2-22所示。
图2-21 G2连续曲面
图2-22 G1连续曲面分析
提示
分析曲面的连续性可以通过曲面的反射分析，从斑马线的连续性清楚地观察出来，此外UG NX提供了专门的曲面连续性分析工具，具体分析方法的使用可以参看后面章节的介绍。