光、电、热、力等各种各样的物理现象围绕着我们，与我们的日常生活息息相关。从古时候起，人类就开始尝试理解世界，并提出多种理论来解释这个世界，最终促进了物理这门科学的产生和发展。在经历了物理学萌芽时期、经典物理学时期以及现代物理学时期的三个阶段发展后，大量物理学科成果应用于实践，有力地推动着科学技术革命的发展。物理学科的每次跨越式发展，均促进了生产力的跨越式发展。

数学，同样是一门历史久远的学科，它主要研究数量、结构、变化以及空间模型等概念相关的问题。发展至今，数学已被广泛应用于各种领域，包括科学、工程、医学和经济学等，同样也是新的科学技术革命的基石。

数学和物理学的发展一直是密不可分的，许多数学理论基于物理问题发展起来，而很多数学方法和工具，通常也只有在物理学中才能够得到实际应用。由此产生的综合性学科，就是我们通常所说的数学物理方法。数学物理是数学和物理学的交叉领域，通过应用特定的数学方法来研究物理学的问题，这种以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法就被称为数学物理方法。

数学物理方法的本质是通过数学方法描述物理现象，研究其数学解法，然后根据数学解答来诠释物理现象。例如，日常生活中的温度变化，我们可以用一个变量 T 来描述温度，用一个传热方程来描述能量的传递过程，通过求解得到 T 的数值就可以了解温度随时间和空间的变化，掌握温度变化规律；在歌剧院中，我们用变量声压 p 来描述声音的大小，利用声压方程描述声音传播过程，通过计算得到 p 的分布，研究每个位置上声音的大小，分析出最佳的观赏位置；在家用电器中的电路板上，可以通过联立麦克斯韦方程（描述电磁场）、热传导方程（描述温度）和弹性力学方程（描述力学）来进行电-热-结构耦合计算分析，判断合适的工作电压、散热条件以及失效条件和寿命，并根据结果设计出更优的电路和电器。

用来描述物理场的数学方程被叫做数学物理方程，简称数理方程，即在物理学、力学、工程技术等问题中，经过合理简化后建立的数学方程，可以用来反映客观世界物理量分布或变化的偏微分方程，有时也包括积分方程和某些常微分方程。因此我们常常把偏微分方程看做是数理方程的代名词，见参考文献 ^{[1]，[2]，[3]} 。

既然绝大多数物理问题都可以归结为对应的数学问题，那么科学的很大部分研究就在于求解这些数学物理方程。近年来，随着电子计算机技术的发展，“数值计算”或者说“计算物理”在很大程度上替代了传统的解析算法，成为科学研究的重要工具，甚至这种解决问题的方法逐渐被化学、经济学等非物理领域的专家及学者所接受，成为产生新思想、新对象、新问题以及新方法的一个重要源泉。

自20世纪50年代起，有限元方法首先在连续介质力学中得到应用，随后很快就广泛地应用于求解热、电磁、流体力学等各种数理方程中。有限元方法的基本思路是将微分方程离散化，通过采用适当的方法，将微分方程近似转化为代数方程组，从而可以使用标准的数值计算方法来求解。

基于有限元方法求解工程设计问题的计算软件COMSOL Multiphysics之所以在其商业化20年左右时间里能得到广泛应用的根本原因就在于它是植根于数学物理方法，直面数学物理方程，从最底层的理论出发，揭示物理现象的本质，始终灵活地面对不断发展的前沿科学，适应千变万化的实际应用背景，让数值计算方法面对不断深入的各类研究处变不惊。

本章是全书的基础，但限于篇幅和主题，我们只能介绍最基本的数理方程概念，以及一些基本的求解方法。在这里我们建议所有读者，尤其是偏重理工科研究的读者，通过各种渠道了解与本专业相关的数学物理方法。请记住，即便是不从事数值计算工作，数理方程也是所有理工科研究的基础，它将让你深入了解物理现象背后的本质。 x+xMgZS5oTBZSqFprj/nLRgD+2w+0deWMbKZkCfLl+4E36d2tpRuDQJnmRr5P5ud