学习有限元法的准备工作是掌握一个被称作为“弱形式”的概念，下面来直接引入它。请看方程式（2.16）

方程式（2.16）称做方程的“强形式”，可以说“强形式”就是方程的普通形式。那么，如何得到方程的“弱形式”呢？将方程的两边同时乘以一个被称做“测试函数”（test function）的 V （ x ）（下文将一致性地采用字母 V 表示测试函数），然后对 x 在方程的作用域上，即从0到1，积分方程式（2.17）

只是将方程的两边同时乘上了同一项，一个 V （ x ）项，“任意”一个 V （ x ），然后积分。现在看到的方程式（2.17）就是方程的“弱形式”，并且是对“任意”的测试函数 V （ x ）都成立，稍后会对“任意”加以说明。

把方程写成这种形式，读者也许会想，如果这个方程对每一个 V （ x ）都成立，可以让某个 V （ x ）只集中在一个小的区域内有值，而让它在其余的区域为0，这个方程还是成立的。然后可以尝试另外一个 V （ x ），而它只集中在另外一个小区域内有值。读者也许可以感觉到，如果方程式（2.17）对每一个这样的 V （ x ）都成立，那么就可以反推到方程的强形式。换句话说，如果方程式（2.17）对每一个 V （ x ）都成立，则方程式（2.16）成立。因此，我们有一个回到强形式的路径。这好比爬一座小山，下山容易，只是将方程两边乘以 V （ x ）然后积分，但是只要稍有耐心，就能返回到强形式上。从现在开始就要逐步适应方程的弱形式。

读者也许会问为什么要使用弱形式，如何处理方程式（2.17）的左边项？的确，方程式（2.17）的右边项看起来较为简单，但是左边项有些复杂。你看到像方程式（2.17）左边项的形式时，能想起什么吗？对，分步积分！即方程式（2.18）

笔者不太喜欢方程式（2.17）的左边项是因为 u 有二阶导数，而 V 却只是其函数本身，故希望左边这一项具有对称性。因此做分步积分，从而得到方程式（2.19）

方程式（2.19）就是弱形式，对“任意的” V （ x ）都成立。对于方程式（2.19），我们希望左边第一项为0。如果现在考虑的问题的边界条件属于自由-固定类型，即左边界不限制位移 u ，而右边界位移 u 限制为0。在 u 自由的左边界，由于没有限制 u ，故也不会去限制 u 的“好朋友” V ，因此方程式（2.20）在左边界成立

这个边界条件很自然地出现了，而且这个条件是必需的，因为我们对 V 没有控制。那么右边界是什么样的情况呢？在右边界， u 为0，也会让 V 为0，所以当说到“任意” V （ x ）时，最好加上这个条件，即在 u 固定的一端， V 也为0，需要这个条件。

任何时候当有一个Dirichlet边界条件时，即一个固定条件告诉 u 是多少时，我会想到 V ，你要慢慢开始将 V 看做从 u 处移动的小位移， u 是方程的解。注意，我们现在考虑的问题的边界条件是自由-固定，所以 u 可能和图2.5描述的情况相似。图2.5画的是 u ，现在考虑一下 V 。字母 V 是有特定意义的，它代表虚位移（virtual displacement）。虚位移是从 u 处移动的小位移，但是它必须满足 u 所满足的固定边界条件。换句话说，小的虚位移 V 在 u 固定的一端不能跑离0，即 V （ x ）=0。最终的结果是，方程式（2.19）左边第一项为0而消失，我们得到所需要的方程的弱形式，如方程式2.21所示

Galerkin方法就是从方程的弱形式出发的（Galerkin是俄罗斯人）。在边界条件那儿，有德国人Neumann和法国人Dirichlet。在怎么将一个连续问题转变为一个离散问题的基本原理上，有俄罗斯人的贡献。Galerkin方法要做的事情是用 N 个未知数来取代一个未知的函数，我需要一个离散的方程组，它的最终形式将是 KU=F 。因此，需要得到一个方程 KU=F ，但不是通过有限差分法，而是通过这个弱形式的Galerkin方法。

首先看看Galerkin方法的原理，然后在2.7节会介绍不同类型的有限元。Galerkin的想法是，选择尝试函数（trial function） φ ₁ ， φ ₂ ，…， φ _N 。这里有一个自由的选择，这也是应用数学中的一个基本选择，你选择一些函数，如果选择得好，会得到一个好的方法。在你选好尝试函数后，Galerkin方法的思想是用如下的 U 近似要求的解 u ，见方程式（2.22）

在方程式（2.22）中， φ _i 都是 x 的函数，方程右边那些 U _i 是一些数字，也就是我们要求的 N 个未知数，而且这些 U _i 是我们选择的尝试函数的待定系数。现在需要 N 个方程，通过选择测试函数 V ₁ ， V ₂ ，…， V _N 并将它们代入到方程式（2.21）中，而且方程式（2.21）中的 u 用方程式（2.22）中的 U 代入，这样就能得到 N 个方程，每个 V 都会给出一个方程，所以最终能得到 N 个方程。 N 个未知数和 N 个方程，这就是线性系统 KU=F 。

你注意到了这一步是怎么达到的吗？是通过使用弱形式，通过使用Galerkin的方法选择一些尝试函数，选择一些测试函数，然后把它们代入到弱形式中。所以Galerkin的思想就是将这些尝试函数和测试函数应用到弱形式中。真正的弱形式，即连续的弱形式应该包含所有的 V ，这里通过选择 N 个 V 而得到 N 个方程，通过选择 N 个 φ 而得到 N 个未知数。这种思想的存在比有限元要早100年，有限元的思想是选择一类特殊的 V 和 φ 。

一类特殊的 V 和 φ 的选择就是简单的多项式，你也许会想，为什么Galerkin不首先尝试这些简单的多项式呢？也许他尝试了，但是核心问题是和Galerkin的时代相比，我们现在拥有计算机的强大的计算能力，如果是简单的多项式，可以选择成千上万个。这就是有限元法给我们带来的东西，选择简单的多项式函数，而且选择很多个这样的函数。但是Galerkin的时代没有MATLAB，他也没有计算机，只有笔和纸，他选择一个函数，也许两个，也许这样就会花去他一天的时间，但是现在可以选择上千个简单的函数。下节探讨得到 KU = F 的详细步骤。 eiUPBx9o6E/GK/uhru+5KWQGhoOsjEFeMivoS+QXlaK+GopAilJuBOzNQ2mFtm1Z