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数理方程理论的发展，在很大程度上反映了求解偏微分方程的需要，同时也是研究偏微分方程的强大理论后盾。有少量线性的偏微分方程，经过多年的研究，已经得到了求准确解的方法。通常情况下，求解偏微分方程的定解问题可以先求出通解，然后再利用定解条件确定得到解析形式。常用的方法如分离变量法、积分变换法、复变函数，等等；有时也可以用各种初等函数和超越的特殊函数来表达。这一类方法通称为解析解法，见参考文献[5]。
但这些只限于比较典型的情况，更多的偏微分方程是非线性方程或方程组，尤其是存在耦合关系的多物理场数理方程，其求解方法更为复杂，只有少数问题能够推导得到解析形式的精确解。在实际情况下，很难得到通解形式，通过定解条件确定函数更加困难。对于这种无法通过解析形式求解的定解问题，常用有限差分、有限元法、有限体积法等数值计算方法来进行求解。自20世纪70年代以来，电子计算机得到广泛应用，刺激了各种数值解法的发展。当前使用有限元方法的商业软件已日益广泛地应用于科学和工程研究。这一类方法则通称为数值解法。
本章对其中几种较为常见的解法做一些简单的说明，便于大家理解本书后续章节。