3.2 正弦量的表示法

由于在正弦交流电路中，所有的电压、电流都是同频率的正弦量，所以要确定这些正弦量，只要确定它们的有效值和初相就可以了。相量法就是用复数来表示正弦量。

3.2.1 复数及其表示形式

设 A 是一个复数，并设 a 和 b 分别为它的实部和虚部，则有

A = a +j b （3-6）

式（3-6）表示形式称为复数的代数形式。

复数可以用复平面上所对应的点表示（见图3-5）。

复数 A 的矢量与实轴正向间的夹角 φ 称为 A 的辐角，记作

从图3-6中可得如下关系：

复数： A = a +j b =| A |（cos φ +jsin φ ）

称为复数的三角形式。

再利用欧拉公式：e ^{j φ} =cos φ +jsin φ

又得 A =| A |e ^j φ （3-7）

称为复数的指数形式。在工程上简写为 。

3.2.2 复数运算

1.复数的加减

设有两个复数：

A ₁ = a ₁ +j b ₁

A ₂ = a ₂ +j b ₂

A ₁ ± A ₂ =（ a ₁ +j b ₁ ）±（ a ₂ +j b ₂ ）

=（ a ₁ ± a ₂ ）+j（ b ₁ ± b ₂ ）

两个复数相加的运算在复平面上是符合平行四边形的求和法则的，如图3-7所示。

2.复数的乘除

复数的乘除运算，一般采用指数形式。

设有两个复数：

即复数相乘时，将模和模相乘，辐角相加；复数相除时，将模相除，辐角相减。

3.共轭复数

复数 是一个模等于1，而辐角等于 φ 的复数。任意复数 A =| A |e ^{j φ 1} 乘以e ^{j φ} 等于：

即复数的模不变，辐角变化了 φ 角，此时复数矢量按逆时针方向旋转了 φ 角。所以e ^{j φ} 称为旋转因子。使用最多的旋转因子是e ^j90 °=j和e ^j（-90°） =-j。任何一个复数乘以j（或除以j），相当于将该复数矢量按逆时针旋转90°；而乘以-j则相当于将该复数矢量按顺时针旋转90°。

3.2.3 正弦量的相量表示法

正弦量 u = U _m sin（ ωt + φ ）

可以写作： 式（3-8）中，符号 I _m 是虚数的缩写。其中复常数部分 U e ^{j φ} 是包含了正弦量的有效值 U 和初相角 φ 的复数，我们把这复数称为正弦量的相量，并用符号 表示，上面的小圆点是用来表示相量。则

简写为

相量和复数一样，可以在复平面上用矢量表示，这种表示相量的图，称为相量图。如图3-8所示。

【例3.1】 已知正弦电压 和

写出表示 u ₁ 和 u ₂ 的相量表示式，并画出相量图。

解：

相量图如图3-9所示。

【例3.2】 已知两频率均为50Hz的电压，表示它们的相量分别为 ， ，试写出这两个电压的解析式。

解： ω =2π f =2π×50rad/s=314rad/s

【例3.3】 已知 ， ，试用相量法求 i ₁ + i ₂ 。

解：

由此可见，正弦量用相量表示，可以使正弦量的运算简化。 /PWSdVcdhZk3VQ5y8fegI/3oiVeNHo/3jpMRLhrELMLo+OOrDtyml5gtzmOjYP+E