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代数、几何、解析几何、矩阵和概率这几个看似各自为政的数学模块，实际上有紧密的内在联系。本章和下一章从矩阵运算入手，用若干例子来讨论它们之间的关联。
图1.1 平面中的向量
丛书第一本第5章探讨了平面和空间概念。本章聊一聊空间中的向量。如图1.1所示是平面向量的表达方法：
也可以写成：
向量有两个很重要的元素：长度和角度。向量的长度，叫作 欧几里得范数 （Euclidean norm of the vector）。对行向量 a =[ a 1 , a 2 ]，它的范数为：
式（1.3）所示向量的角度可以求解为：
另外一个重要的概念是， a 方向上的单位向量 （unit vector in the direction of a）：
如图1.2所示是平面向量的加法、倍数和减法的运算规则，此处不再赘述。
数量积 （scalar product），也叫 内积 （inner product），是向量乘积的一种。对于二维空间， a =[ a 1 , a 2 ]和 b =[ b 1 , b 2 ]两个行向量的内积可以表达为：
上式为行向量内积计算；这个运算规则也适用于列向量。
图1.2 平面中的向量加法和减法
有两个多维行向量， a =[ a 1 , a 2 ,…, a n ]和 b =[ b 1 , b 2 , …, b n ]，这两个多维行向量的内积计算式为：
式（1.7）所示内积可以用矩阵的乘积来表达：
请读者自行推导多维列向量内积计算式。内积和向量夹角 θ （如图1.3所示）有直接联系：
图1.3 直角坐标系，向量的夹角
行向量 a 、 b 的夹角 θ 可以通过式（1.10）计算得到：
行向量 a 的范数也可以通过内积来求得：
行向量 a 和自身的夹角为 θ =0°。对于二维空间，cos θ 可以通过式（1.12）求得：
下面，将向量 a 、 b 放在极坐标中解释向量夹角。 a =[ a 1 , a 2 ]和 b =[ b 1 , b 2 ]在极坐标中各自的角度为 θ a 和 θ b ，如图1.4所示。两个向量和各自坐标的关系：
cos θ 可以由 θ a 和 θ b 正余弦构造：
图1.4 极坐标中解释向量夹角
另一种在MATLAB编程中常用的矩阵乘法叫作 元素乘积 （element-wise multiplication），也称为 哈达玛积 （Hadamard product），或 元素相乘 或 逐项积 ，即两个形状相同的矩阵，对应元素相乘得到同样形状的矩阵。如图1.5所示是元素乘积的运算。还有一种向量的乘积叫作 叉乘 （cross product, vector product），也叫作 向量积 ，丛书第四本中将会介绍叉乘运算。
图1.5 矩阵的元素乘积
有了以上向量的基础知识，接着看一看向量的 投影 （projection）。向量投影主要有两种， 标量投影 （scalar projection）和 向量投影 （vector projection）。下面我们介绍的是标量投影，也就是投影结果是标量形式。向量 a 可以在 x 和 y 轴上投影，也可以在任何其他坐标系内投影，这些坐标系可以是 正交系 （orthogonal coordinates），也可以是 非正交系 （nonorthogonal coordinates）。如图1.6所示是平面中的一个向量 a 在不同的正交坐标系内投影到坐标轴的情况。
图1.6 平面中向量在不同坐标系的投影
如图1.7所示，若向量 a 在单位向量 v 1 方向的投影为 c v 1 ，那么向量 a 和向量 c v 1 的差得到的向量 c v 1 - a 与向量 v 1 相互垂直，即有：
如果 a 和 v 1 都是列向量，式（1.15）可以写作：
a T 是 a 的转置，结果为行向量。比如 a =[4，3] T 在 v 1 =[1，0] T 方向上投影可以得到：
a =[4，3] T 在 v 2 =[0，1] T 方向上投影可以得到：
如果有如式（1.19）所示正交坐标系：
向量 v 1 和 v 2 长度为1，都是单位向量。另外，如式（1.20）成立，说明这两个单位向量正交：
下面把 a T =[4，3]投影到这个正交系中：
如果把 v 1 和 v 2 交换，可以得到：
可见结果的坐标值也发生了交换。注意，坐标系的旋转方向和坐标系内向量的旋转方向是相对的，如图1.8所示。如果构建式（1.23）所示矩阵：
其中， V 这个矩阵的转置和 V 本身乘积是一个单位矩阵：
图1.7 向量 a 在单位向量 v 1 方向的投影
本章后续内容还会更加深入探讨对称、旋转等变换。
图1.8 坐标系的旋转和向量的旋转的方向关系
接下来再介绍一下 特征值 （eigenvalue）和 特征向量 （eigenvector）。特征向量代表方向，通常是列向量；特征值是在这个方向上的比例，特征值是标量。给定方阵 A ，它和特征向量、特征值满足式（1.25）的关系：
某个二维矩阵 A ，有两个特征值和特征向量：
特征向量 Av 1 、 Av 2 可以构成一个矩阵 V ，用两个特征值构造一个对角阵，式（1.26）可以写成：
式（1.27）叫作 矩阵的特征分解 （eigen-decomposition of a matrix）。在MATLAB中，特征分解的MATLAB函数是[ V , Λ ]=eig（ A ）。特征值、特征向量和特征分解这三个概念在本书特别重要，请读者多加留意。丛书第四本会专门讨论向量和矩阵投影和特征值分解、Cholesky分解、SVD分解、PCA分析之间的紧密联系。
行列式 （det erminant），是将一个方阵 A 根据一定的规则映射到一个标量，记作det（ A ）或| A |。二阶矩阵的行列式的计算规则为：
MATLAB用于计算行列式值的命令为det()，如下代码， A 的行列式结果为10。
如图1.9所示是二阶矩阵行列式的几何意义。图中蓝色平行四边形的面积就是 A 的行列式值，它可以通过整个矩形面积减去四个三角形面积得到：
图1.9 二阶矩阵的行列式的几何意义
三阶矩阵的行列式计算规则为：
正如二阶矩阵行列式能够造出平面面积，三阶矩阵的行列式在三维空间可以构造得到体积量值。丛书第四本介绍向量叉乘运算时，还要利用三阶矩阵行列式计算。