2.3　马氏距离

平面内某点 m 到样本集合 X 中心的 欧拉距离 （Euclidean distance）可以通过式（2.66）计算得到：

式中： m 为空间某一点，由行向量表示； μ _X 为空间样本点集合 X 中心位置（均值位置）。

如图2.19所示是一组空间样本点集合 X 和四个散点（ A 、 B 、 C 和 D ）。可以发现 A 和 B 到数据中心 μ _X 的欧氏距离为 ； C 和 D 到数据中心 μ _X 的欧氏距离为1。就 A 和 B 点来说，发现欧氏距离不足以描述两点和数据 X 的关系。虽然 A 和 B 距离数据中心（均值点）距离相同，但是显然从数据分布角度来说， B 距离数据 X 更近一些， A 远离数据中心。这是因为 X 在不同方向上分布密度不同。比较 C 和 D ，同样地，从数据分布角度来看， D 距离 X 更近。因此，需要定义一种新的度量。

对于一维数据， z 值、 标准分数 （z-score, standard score）回答了“某个点距离平均数多少个标准差”这样一个问题。而标准差的长度表达的就是分布的密度，某个维度的标准差越大，这个维度上数据密度越小。多维标准正态随机数据的 Z 值可以通过空间转换，表达在正交系中：

丛书第四本将会从线性变换和投影角度再次探讨式（2.67）。有了以上讨论，可以介绍研究多维统计数据关系常用的一种度量值， 马氏距离 （Mahalanobis distance, Mahal distance），也叫 马哈距离 。马氏距离就是用正交化、归一化的坐标系来度量某个数据点 m 和数据整体 X 的距离。马氏距离的定义为：

Σ 为数据 X 的方差-协方差矩阵。马氏距离是众多 统计距离 （statistical distances）的一种。 Σ 可以表达为：

对应的 Σ ^-1 为：

将式（2.70）代入马氏距离计算式：

式（2.71）就是经过矩阵转化得到的以标准差为单位坐标系的距离。来看一种特殊情况，如果线性相关性系数为0的 X 数据方差-协方差矩阵为：

方差-协方差矩阵的逆 （inverse of the variance-covariance matrix）为：

通过之前的讨论，马氏距离可以通过下式求得：

如图2.20所示是图2.19数据 X 和四个点 A 、 B 、 C 和 D 在方差正交的网格中的位置。 A 距离数据中心的“网格数”大于4； B 距离数据中心的“网格数”约为1，这明显说明相比 B ， A 距离数据 X 更远。如图2.21所示是另外一种可视化。上一节，知道椭圆可以用来表达二维置信区间。图2.21中给出的同心椭圆表达的是等均方差。 A 的马氏距离为4.3798，它在第四和第五个椭圆之间； B 的马氏距离为1.0588，它几乎落在第一个椭圆之上； C 的马氏距离为3.1386，它在第三个椭圆之外； D 的马氏距离为2.2159，它在第二个椭圆之外。

图2.21数据 X 和 A 、 B 、 C 和 D 四点，经过转换后可以得到去相关中心化数据，如图2.22所示。此时，图2.21的椭圆变成同心正圆；图2.22中的欧式距离就是图2.21的马氏距离。

以下代码可以获得图2.19到图2.22： M03vfDmMd4ArI67L7kVzm06jgyujayJ/hUmZ/59UrEer1Q4/ZTPWjB/9rGSR+1Qh