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本节讨论二维数据的标准差、置信域和椭圆解析式的联系。如图2.12所示为9个线性相关性不同的随机数组。红色的椭圆描述了随机点的分布集中情况，会发现椭圆的大小、宽窄和旋转方向都有所不同。为了更好地描述这种联系，首先回顾一下椭圆这一基本概念。
如图2.13所示为经典椭圆形状，这个椭圆中心位于原点。 半长轴 （semi-major axis）位于 x 轴，长度为 a ； 半短轴 （semi-minor axis）位于 y 轴，长度为 b 。两个焦点位于 x 轴。这个椭圆的代数解析式为：
其中， a > b ，且 a 和 b 均大于0。下一步要研究这个椭圆绕原点旋转。
图2.12 二维平面旋转椭圆和随机数的关系
图2.13 经典椭圆形状
探讨随机数据处理时，第一步就是将数据中心化，因此这一节只讨论中心在原点的椭圆。中心在原点的椭圆一般形式可以写作：
椭圆上任意一点写作[ x 2 , y 2 ]，式（2.32）可以用式（2.33）所示矩阵表达：
这个椭圆可以通过在原点的单位圆（半径为1）经过缩放、旋转和平移获得。第1章，已经探讨过如何用矩阵做缩放和旋转，下面就把它们应用在圆形向椭圆的转换上。单位圆的解析式为：
单位圆上的任意一点为[ x 0 , y 0 ]， 单位圆 （unit circle）可用式（2.35）所示矩阵式来表达：
将 x 坐标扩大 a 倍，将 y 坐标值扩大 b 倍，获得[ x 1 , y 1 ]，也就是：
求解[ x 0 , y 0 ]，可以得到：
将式（2.37）代入单位圆矩阵式：
通过整理式（2.38），得到以原点为中心的椭圆：
式（2.39）两侧分别乘以 a 2 b 2 ，得：
再通过 R 矩阵对[ x 1 , y 1 ]进行旋转得到[ x 2 , y 2 ]：
即可建立[ x 0 , y 0 ]和[ x 2 , y 2 ]之间的联系：
将式（2.42）代入单位圆矩阵式：
式（2.43）两侧同样乘以 a 2 b 2 ，有：
比较式（2.45）：
可以获得：
将 R 和 S 代入式（2.46）得：
A 、 B 和 C 三个系数可以计算得到：
简单总结一下以上过程。首先构建单位圆的矩阵式，然后对单位圆进行缩放运算获得中心在原点的椭圆，然后将椭圆绕原点旋转。最后如果有必要，可以将椭圆整体平移到平面其他坐标点。如图2.14所示是这个椭圆变形的过程。丛书第四本还要从投影角度再次探讨这张图。
图2.14 椭圆的变形过程
以下代码可以获得图2.14。
基于以上内容，现在讨论如何用数据的方差-协方差矩阵构建平面椭圆，从而表达数据集中度。如图2.15（a）（b）所示是同一组随机数。这组随机数在不同方向维度的数据分布情况完全不同。图2.15（a）给出的是在 x 和 y 轴两个方向的分布，会发现对于这组随机数 x 和 y 轴分布情况几乎一致。第1章计算过随机数的方差协方差矩阵，并且用eig()命令计算出其特征值和特征向量。对图2.15数据采用同样的分析方法，可以获得两个特征向量，将随机数据分别投影在这两个方向上，分别获得数据集中度最大和最小的分布范围。数据分布集中度大的方向对应的特征向量有最大的特征值，反之亦然。下一步，要构造的椭圆的半长轴就放置在数据分布集中度最大的方向上。椭圆的半短轴放置在数据分布集中度最小的方向上。在这两个方向上，可以计算出最大和最小的标准差，椭圆半长轴和半短轴的长度和这两个标准差呈正比例关系。
图2.15 数据的集中度
丛书第一本中统计部分讨论过一维数据的正态分布标准差和 置信区间 （confidence interval）这两者关系，如图2.16所示。本节把这个概念拓展到二维数据。第1章已经了解，二维数据 D （ L 行，2列）的方差-协方差矩阵 Σ 可以通过式（2.49）得到：
对 Σ 进行特征矩阵分解：
其中：
两个特征值对应的特征向量为：
这两个特征值可以通过式（2.53）求得：
有兴趣的读者可以自行推导两个特征向量的解析解。在两个特征向量构建的新坐标系中，令特征向量 v 1 方向的坐标为 v ，特征向量 v 2 方向的坐标为 w 。数据在这两个方向的标准差为：
以下两个随机变量，线性无关且服从标准正态分布：
在 v - w 坐标系中，构造式（2.56）所示椭圆解析式：
这个椭圆的半长轴和半短轴的长度为：
特征向量 v 1 和 x 轴的夹角就是这个椭圆在 x-y 坐标系中，半长轴和 x 轴的夹角。这个椭圆在 x-y 坐标系中具体代数解析式本节前文已经分析过，这里不再赘述。这个椭圆的式（2.57）中的 ς 是在某个置信、某个具体自由度条件下的卡方分布值。例如，置信条件为0.95，自由度为2，卡方分布的值为5.9915，也就是说：
常见卡方分布值，请参考表2.1。
如图2.17所示是一组随机数，如图2.18中所示的椭圆是图2.17随机数95%置信区间。“·”代表在95%置信区间内的数据；“×”代表95%置信区间之外的数据。
图2.16 标准正态分布标准差间距的区间内概率值
表2.1 常见卡方分布值
图2.17 二维随机数据
图2.18 二维随机数据95%置信区域
以下代码可以绘制并比较90%和99%置信区域。
多元正态分布 （multivariate normal distribution）的概率密度函数为：
式中： x 和 μ x 为1× d 形状的行向量； Σ 为形状 d × d 的方差-协方差矩阵。 d 为多元正态分布维度。
当 d =2时， x 和 μ x 可以表达为：
如果 x 1 和 x 2 之间的相关性为0，方差-协方差矩阵可以写作：
二元正态分布的概率密度函数可以写作：
假设概率密度函数等于某个值 c ，即：
从式（2.63）可以看到一个圆心位于（ μ 1 ， μ 2 ）的椭圆。如果相关系数不为0，方差-协方差矩阵可以写作：
这种条件下，二元正态分布的概率密度函数为：
类似地，当概率密度为另一个定值时，就可以得到一个旋转椭圆。丛书第四本会继续探讨椭圆和其他圆锥曲线的性质。