下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
本节要利用 指数加权 （exponentially weighted）计算平均值、方差-协方差矩阵和相关性矩阵等。指数加权这个方法，在金融风险管理计算波动率和计算VaR已经讨论过，这里用矩阵式展示计算过程。在指数加权条件下，首先定义权重列向量 w EW ：
第 i 个权重 w EW _ i 可以表达为：
权重列向量 w EW 元素的和为1：
另外当 T 较大时，比如 T =252， λ T 可以看作为0，因此第 i 个权重 w EW_ i 可以表达为：
在不同衰减因子 λ 条件下， w EW 随系数 i 变化如图1.42（a）所示。注意，时间的先后顺序是从左到右，右侧 i =1为窗口内最新数据。
第1到第 m 个权重之和，可以通过式（1.99）求得：
如图1.42（b）所示为从右向左求cumsum()结果的图像。图中给出在不同 λ 条件下，求和结果分别为0.9和0.95的情况。另外， m 可以求解出来，如式（1.100）所示：
图1.42 w EW 随系数 i 和 λ 变化
同样认为 λ L 为0，式（1.100）可以写作：
式（1.101）中tol为 容差 （tolerance）。表1.1给出的是，在不同 λ 条件下，权重和CL分别为90%、95%、99%、99.5%、99.9%和99.99%时， m 的值。
表1.1 不同 λ 和CL条件下历史数据的数量
下面定义一个向量 λ ：
λ 和 w EW 的关系如下：
如图1.43所示， D 在列方向的 指数加权平均数 （exponentially weighted average）为：
指数加权平均方法配合移动窗口方法，就得到前文讲过的指数加权移动平均方法。
现在把EWA计算平均数这个思路运用在求解方差-协方差矩阵。类似地，计算去均值时，原数据减去的是EWA：
图1.43 矩阵表达加权平均数
另外，如果均值近似于0，可以不去均值。为了便于计算，先定义一个矩阵 R EWMA ：
如图1.44所示是 R EWMA 计算过程。
图1.44 矩阵表达计算 R EWMA
如图1.45所示，EWMA方差-协方差矩阵可以通过式（1.107）计算出来：
图1.45 EWMA方差-协方差矩阵
如图1.46所示，方差列向量可以通过式（1.108）计算得到：
方差对角矩阵通过式（1.109）获得：
图1.46 EWMA方差
现在下载四只股票数据，用250数据长度作为窗口，用几种方法计算方差-协方差矩阵。如图1.47所示就是这四个计算结果。图1.47（a）展示的是用最常用的统计方法计算方差-协方差矩阵。图1.47（b）展示用EWMA方法计算方差-协方差矩阵，但是没有对于 D 采用去均值化。这种方法被广泛采用，因为很多统计分布的均值接近0，因此对原始数据通常不需要做任何去均值化处理。图1.47（c）也是用EWMA方法，但是对原始数据去均值化，均值是用简单方法获得。图1.47（d）也是用EWMA方法，去均值化采用EWA。
图1.47 股票数据用四种方法计算方差-协方差矩阵
如图1.48所示，EWMA标准差通过式（1.110）获得：
图1.48 EWMA标准差
相关性矩阵可以通过式（1.111）求得：
图1.49所示是股票数据用四种方法计算相关性矩阵。
图1.49 股票数据用四种方法计算相关性矩阵
以下代码可绘制图1.47和图1.49：
本章主要讨论了矩阵的基础运算、矩阵转化、矩阵分解、线性方程组等矩阵基础内容；另外，特别介绍了矩阵与概率运算的关系。第2章将进一步探讨矩阵和其他数学运算的融合。这两章内容会为以后复杂的金融建模打下坚实数学基础。