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矩阵转化 （matrix transformation）是本书中矩阵运算的重点，矩阵转化可以将很多抽象的矩阵运算以几何方式展示出来。请读者注意，MATLAB函数的输入变量会采用特定的行向量或者列向量形式，与某些书籍的表达或推导并不完全一致。
若数组 D 的形状是 L × N ，即 L 行和 N 列。每一列代表一个观测变量，每个观测变量有 L 个观测值。方便起见，令 N =2，假设其分别对应坐标系中的 x 和 y 。这样，数组 D 可由二维平面上的不同点来表达，如图1.10所示。
图1.10 原始二维数据按次序首尾相连构成的图形
首先是沿 x 方向 拉伸 （stretching）。对原二维数组 D 在 x 方向 k 倍拉伸，可以通过矩阵运算得到：
此时式（1.31）中， k >1。如果 k <1，产生的效果就是 压缩 （compressing, squeezing）。拉伸和压缩统称 缩放 （scaling）。如图1.11所示是矩阵缩放运算矩阵的形状关系。再次注意，图中矩阵运算的×，并非向量叉乘，×在这里仅仅表达矩阵相乘。
图1.11 形状为 L × N 的数据 D 的缩放计算
如果 x 方向的 缩放系数 （scaling factor）为 a ， y 方向的缩放系数为 b ，可以得到：
如图1.12（a）所示，当 a 和 b 相等且均大于1，得到的图形和原图像是相似放大关系，也就是等比例放大。如图1.12（b）所示，当 a 和 b 相等且大于1小于0，得到的图形和原图是相似缩小关系，是等比例缩小。如果 a 和 b 大于0，但是不相等，得到的缩放效果则是非等比例的。图1.13所示是非等比例缩放的三个例子。
图1.12 等比例缩放
图1.13 非等比例缩放
如果缩放比例 a 或 b 小于0会产生什么效果？如图1.14所示，分为三种情况把矩阵做一次分解。
情况一：
情况二：
情况三：
图1.14 形状为 L × N 数据 D 先缩放然后对称运算
很明显，如图1.15所示，经过 R =[-1，0；0，-1]处理得到的图形和原图形 以原点中心对称 （central symmetry with respect to origin），相当于图形绕原点顺时针旋转180°。而[-1，0；0，1]的效果是以 y 轴做镜像对称。[1，0；0，-1]产生的效果则是以 x 轴做镜像对称。这里初次提到旋转和对称的特殊情况，随后会进一步介绍。
如果数据 D 的形状为 N × L ，也就是 N 行， L 列。如图1.16所示，当 N =2时，对数据进行拉伸处理，可以这样处理：
相当于：
由于[ a ，0；0， b ]是对角阵，因此它的转置结果还是本身。
下面继续旋转操作的话题。一个坐标点（ x , y ）绕原点 顺时针 （clockwise）旋转 θ ，可以通过式（1.38）求得：
图1.15 中心对称、 y 轴对称和 x 轴对称
图1.16 形状为 N × L 的数组 D 的缩放计算
形状为 L ×2的数据矩阵 D ，可以通过式（1.39）进行旋转：
如图1.17所示是初始形状分别绕原点顺时针旋转45°、90°和120°三种情况。请读者自行编写MATLAB绘制图1.17。
当原始图形旋转90°和180°时，旋转矩阵的具体值如下：
如图1.18所示，向量 a 在极坐标系可以表达为（ r , α ），则在正交系中向量 a 的横纵坐标为：
图1.17 平面点绕原点顺时针旋转
图1.18 极坐标中解释旋转
向量 a 顺时针旋转 θ 后，得到（ r,α-θ ）。
将向量 a 的极坐标横纵坐标代入式（1.42），可以得到：
式（1.43）整理可得式（1.44）：
式（1.44）正是前文采用的旋转操作的矩阵。 D 的 逆时针旋转 （anti-clockwise）可以通过式（1.45）运算完成：
请读者自行编写代码绘制图形绕原点逆时针旋转。如果数据维度以行来表达，进行旋转运算的形式如下：
如图1.19所示，是数据先旋转后缩放以及先缩放后旋转得到的不同结果。再次说明，对于两个方阵 A 和 B ，一般情况 AB 和 BA 两种乘积结果不同。上文看到的一个特例是，当 A 和 B 都是对角方阵， AB 和 BA 两种乘积结果相同。
图1.19 先旋转后缩放，和先缩放后旋转
下面研究一下 镜面对称 （reflection）的情况。某一条通过原点的直线方向的向量如下：
沿这条直线镜像得到的数据为：
这个2×2的矩阵为对角阵，因此矩阵的转置为其本身。也就是说维度以行来表达时，沿直线镜像得到的数据可以通过式（1.49）计算：
如图1.20所示是四个镜像的例子，镜像直线方向分别是（1,1）、（1, -1）、（1, 2）和（1, -2）。
图1.20 四个镜像例子
下面研究 正交投影 （orthogonal projection）情况。某一条通过原点的直线方向的向量如下：
平面点 D 正交投影到上述直线的结果如下：
如图1.21所示是平面点 D 在四条不同直线投影的结果。这种投影方式，在丛书第四本还要深入讨论。
图1.21 四个正交投影例子
两个特别的投影是向横轴和纵轴投影。完成向 x 轴正交投影的矩阵为：
完成向 y 轴正交投影的矩阵为：
如图1.22所示是图像顶点在 x 轴和 y 轴投影。
图1.22 向 x 和 y 轴正交投影
本节最后讨论一下 剪切转换 （shear transformation）。沿着 x 轴方向的剪切转换矩阵为：
式中 θ 为剪切角。
如图1.23所示是四个沿着 x 轴方向剪切转换的例子。沿着 y 轴方向的剪切转换矩阵为：
如图1.24所示是两个沿 y 轴方向剪切转换的例子。
图1.23 沿 x 轴方向剪切转换
图1.24 沿 y 轴方向剪切转换
式（1.56）所示矩阵完成的转换类似于剪切转换：
使它能保证某个方向上的长度不变。这个长度就是转换点到原始点在 x 轴投影点距离，该距离和原始点到 x 轴投影点距离相等；我们称其为等长度剪切。如图1.25所示是四个相关的例子。
图1.25 沿 x 轴等投影长度剪切
以下代码可以获得图1.17、图1.19、图1.20和图1.21。
